INTEGRAL TAK TENTU (INDEFINITE INTEGRALS) – (1)

Desember 23rd, 2016

Di post saya yang lalu, kita mempertanyakan: “Apakah turunan dari y = x⁵?” Kita jawab: Turunan dari y = x⁵ adalah y’ = 5x⁴. Sekarang bagaimana kalau pertanyaannya seperti ini: “Jika y’ = 5x⁴, maka y = … ?”. Dalam hal ini, kita diminta mencari y sedemikian hingga y’ = 5x⁴. Dalam “bahasa kalkulus”, ini sama dengan mempertanyakan integral tak tentu dari y’ = 5x⁴. Apakah y = x⁵ merupakan jawaban dari pertanyaan tersebut? Belum tentu. Ada tak berhingga banyaknya kemungkinan bagi y. Mungkin saja y = x⁵ + 8. Mungkin juga y = x⁵ – 15. Mungkin juga y = x⁵ + √2. Ketiganya ini menghasilkan y’ = 5x⁴. Karena itu kita dapat menuliskan jawaban bagi pertanyaan ini sebagai berikut: y = x⁵ + C, dengan C suatu konstanta. y = x⁵ + C merupakan suatu antiturunan (atau integral tak tentu) dari y’ = 5x⁴. Dapat kita tuliskan ∫5x⁴ dx = x⁵ + C. Sebelum melanjutkan, kita pelajari terlebih dahulu definisi berikut.

Definisi Antiturunan

F disebut suatu antiturunan f pada selang I jika untuk setiap x ∊ I berlaku F’(x) = f(x).

Catatan:

Jika x merupakan titik ujung interval I, F’(x) yang dimaksud di atas merupakan turunan sepihak.
Nama lain dari antiturunan adalah integral tak tentu (indefinite integrals)

Rumus-rumus Integral Tak Tentu

Perhatikan suatu fungsi f dengan [pmath]f(x) ~=~ 1/{n+1} x^{n+1}[/pmath]. Dengan rumus R1 pada post saya mengenai rumus-rumus turunan, kita dapatkan bahwa f’(x) = xⁿ. Menggunakan definisi antiturunan, kita dapat menuliskan:

$\int_{ }^{ } x^n \: dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$ …………………………………….. (A1)

dengan n adalah suatu bilangan rasional.

Selanjutnya, karena turunan dari y = x adalah y’ = 1, dapat kita tuliskan:

$\int_{ }^{ } 1 \: dx = x + C$

atau $\int_{ }^{ } dx = x +C$ ………………………………………………………….. (A2)

dengan C suatu konstanta.

Sekarang, misalkan y = kx, dengan k merupakan suatu konstanta. Karena y’ = k, definisi antiturunan mengakibatkan kita dapat menyatakan bahwa:

$\int_{ }^{ }k \: dx = kx +C$ …………………………………………………………… (A4)

Penggunaan rumus (R3) pada post saya yang lalu, untuk c = 1 memberikan hasil $\frac{d(e^x)}{dx}= e^x$ . Jadi, menggunakan definisi antiturunan, kita dapat menyimpulkan:

$\int_{ }^{ }e^x \: dx = e^x + C$ …………………………………………………….. (A5)

Rumus (R11) pada post saya yang lalu menyatakan bahwa $\frac{d(\ln x)}{dx} = \frac{1}{x}$ . Menggunakan definisi antiturunan, kita dapat menyatakan: