TEKNIK INTEGRASI FUNGSI TRIGONOMETRI (2)

Juli 29th, 2016

Di post saya sebelumnya telah diuraikan beberapa jenis integral fungsi trigonometri dan teknik penyelesaiannya. Kali ini akan diuraikan tiga teknik lagi yang dapat dicoba.

Jenis IV

∫ sinm x cosn x dengan m dan n keduanya genap positif.

Untuk kasus seperti ini, terapkan {sin}^2 x={1-cos{2x}}/2 dan {cos}^2 x={1+cos{2x}}/2. Dengan substitusi ini, pangkat dari sin x dan cos x dalam integran akan berkurang.

 

Contoh:

int{ }{ }{{sin}^4 x.{cos}^2 x~dx}=int{ }{ }{({sin}^2 x)^2.{cos}^2 x~dx}=int{ }{ }{({1-cos{2x}}/2)^2 ({1+cos{2x}}/2)dx}

int{ }{ }{{sin}^4 x.{cos}^2 x~dx}=1/8 int{ }{ }{({cos}^3 2x-{cos}^2 2x-cos{2x}+1)~dx}

Dapat ditunjukkan bahwa int{ }{ }{{cos}^3 2x~dx}=1/2 sin{2x}-1/6 {sin}^3 2x+C dan int{ }{ }{{cos}^2 2x~dx}=int{ }{ }{{1+cos{4x}}/2dx}=x/2+1/8 sin{4x}+C. [Lihat kembali materi sebelumnya, yaitu Teknik Integrasi Fungsi Trigonometri (1)].

Selanjutnya diperoleh:

int{ }{ }{{sin}^4 x.{cos}^2 x~dx}=1/8 delim{[}{(1/2 sin{2x}-1/6 {sin}^3 2x)-(x/2+1/8 sin{4x})-1/2 sin{2x}+x}{]}+K

int{ }{ }{{sin}^4 x.{cos}^2 x~dx}=-1/48 {sin}^3 2x-1/64 sin{4x}+x/16+K

 

Jenis V

Bentuk ∫sin mx cos nx dx, ∫sin mx sin nx dx, atau ∫cos mx cos nx dx

Untuk menyelesaikan integral berbentuk ∫sin mx cos nx dx, gunakan identitas trigonometri sin{A}cos{B}={sin(A+B)+sin(A-B)}/2 sehingga integran yang semula merupakan hasil kali kedua fungsi trigonometri sekarang merupakan penjumlahan dua fungsi trigonometri. Serupa dengan itu, integral berbentuk ∫sin mx sin nx dx diselesaikan dengan identitas trigonometri sin{A}sin{B}={cos(A+B)-cos(A-B)}/{-2} dan integral berbentuk ∫cos mx cos nx dx diselesaikan dengan cos{A}cos{B}={cos(A+B)+cos(A-B)}/2.

 

Contoh:

int{ }{ }{cos{3x}cos{7x}~dx}=int{ }{ }{{cos{10x}+cos(-4x)}/2 dx}=int{ }{ }{{cos{10x}+cos{4x}}/2 dx}

int{ }{ }{cos{3x}cos{7x}~dx}=1/20 sin{10x}+1/8 sin{4x}+C

 

Jenis VI

Bentuk ∫tanm x secn x dx dengan n bilangan genap dapat diselesaikan dengan identitas trigonometri sec2 x = 1 + tan2 x.

Contoh:

int{ }{ }{{tan}^{-3} x~{sec}^4 x~dx}=int{ }{ }{{tan}^{-3} x(1+{tan}^2 x){sec}^2 x~dx}=int{ }{ }{({tan}^{-3} x+(tan{x})^{-1}){sec}^2 x~dx}

int{ }{ }{{tan}^{-3} x~{sec}^4 x~dx}=int{ }{ }{{tan}^{-3}x~{sec}^2 x~dx}+int{ }{ }{(tan{x})^{-1}{sec}^2 x~dx}={-1}/2 {tan}^{-2} x+ln delim{|}{tan{x}}{|}+C

 

Jadi, int{ }{ }{{tan}^{-3} x~{sec}^4 x~dx}= {-1}/2 {tan}^{-2} x+ln delim{|}{tan{x}}{|}+C

 

Jenis VI

Bentuk ∫tanm x secn x dx dengan m bilangan ganjil dapat diselesaikan dengan pemfaktoran sec x.tan x dan menggunakan identitas trigonometri tan2 x = sec2 x – 1.

 

Contoh:

int{ }{ }{{tan}^3 x~{sec}^{-1/2} x~dx}=int{ }{ }{({tan}^2 x~{sec}^{-3/2}x)sec{x} tan{x}~dx}=int{ }{ }{delim{[}{({sec}^2 x-1){sec}^{-3/2} x}{]}sec{x} tan{x}~dx}

int{ }{ }{{tan}^3 x~{sec}^{-1/2} x~dx}=int{ }{ }{{sec}^{1/2}x(sec{x}tan{x}~dx)}-int{ }{ }{{sec}^{-3/2}x(sec{x}tan{x}~dx)}

int{ }{ }{{tan}^3 x~{sec}^{-1/2} x~dx}=2/3 {sec}^{3/2} x+2 {sec}^{-1/2} x+C

 

Kadang kita menemui suatu kebuntuan ketika berusaha menyelesaikan suatu integral tak tentu yang integrand-nya memuat suatu fungsi trigonometri. Di antara sekian banyak teknik menyelesaikan integral tak tentu, ada suatu teknik substitusi yang bisa dicoba, yaitu dengan substitusi u = tan (x/2). Dengan substitusi ini, berlaku:

dx={2 du}/{1+u^2}

sin{x}={2u}/{1+u^2}

cos{x}={1-u^2}/{1+u^2}

tan{x}={2u}/{1-u^2}

 

Contoh 1

int{ }{ }{{dx}/{1+sin{x}}}=int{ }{ }{1/{1+{2u}/{1+u^2}}~.~{2~du}/{1+u^2}}=int{ }{ }{{2~du}/{(u+1)^2}}=-2(u+1)^{-1}+C

Substitusikan kembali u = tan (x/2) ke hasil terakhir di atas, diperoleh:

int{ }{ }{{dx}/{1+sin{x}}}={-2}/{1+tan{x/2}}+C

Contoh 2

int{ }{ }{{dx}/{1+sin{x}+cos{x}}}=int{ }{ }{1/{1+{2u}/{1+u^2}+{1-u^2}/{1+u^2}}~.~{2~du}/{1+u^2}}=int{ }{ }{{du}/{1+u}}=ln delim{|}{1+u}{|} +C

Substitusikan kembali u = tan (x/2) ke hasil terakhir di atas, diperoleh:

int{ }{ }{{dx}/{1+sin{x}+cos{x}}}= ln delim{|}{1+tan{x/2}}{|} +C

 

Berikut ini adalah tautan-tautan yang berhubungan dengan posting kali ini:

  1. Berbagai Identitas Trigonometri
  2. Rumus-rumus reduksi integral fungsi trigonometri

 

 

 

Tagging:

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *