BERKENALAN DENGAN NILAI DAN VEKTOR EIGEN

Mei 6th, 2022

(English version of this article is available at edsmathscholar.com, click here)

Perhatikan matriks $A = \begin{bmatrix}2 & -7 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}$ , yang dapat dipandang sebagai representasi matriks suatu operator linier pada $\mathbb{R}^2$ , dan vektor $\vec{x} = \begin{bmatrix}7 \\ -2 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2$ . Sangat mudah ditunjukkan bahwa $A \vec{x} = 4 \vec{x}$ . Dalam contoh ini, hasil transformasi matriksnya merupakan perkalian skalar vektor masukan yang bukan vektor nol. Demikian pula, vektor bukan nol $\vec{y} = \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}$ memenuhi $A \vec{y} = -5 \vec{y}$ . Kita katakan bahwa 4 merupakan suatu nilai eigen dari A dan $\vec{x}$ adalah vektor eigen bagi (yang berkenaan dengan) nilai eigen 4. Demikian juga, kita katakan bahwa -5 merupakan suatu nilai eigen dari A dan $\vec{y}$ adalah vektor eigen bagi nilai eigen -5.

Definisi

Jika A adalah matriks berukuran n×n, maka suatu vektor tak nol $\vec{x}$ ∈ $\mathbb{R}^n$ disebut vektor eigen dari A jika $A \vec{x}$ merupakan perkalian skalar $\vec{x}$ , yaitu:

$A \vec{x} = \lambda \vec{x}$ ……………………………………………………………………………………………………………. (*)

untuk suatu skalar λ. Skalar λ dinamakan nilai eigen dari A dan $\vec{x}$ dikatakan vektor eigen dari A bagi λ (atau, yang berkenaan dengan λ).

Dalam definisi di atas, (*) dapat dinyatakan sebagai $A \vec{x} = \lambda I \vec{x}$ dengan $I$ adalah matriks identitas berukuran n×n . Selanjutnya, (*) ekivalen dengan:

$(A - \lambda I) \vec{x} = \vec{0}$ ………………………………………………………………………………………………… (**)

Berdasarkan definisi di atas, vektor eigen bukan vektor nol. Jadi, (**) harus memiliki solusi nontrivial. Agar (**) memiliki solusi nontrivial, determinan $(A - \lambda I)$ harus nol. Jadi, kita memiliki persamaan berikut.

$\vert A - \lambda I \vert = 0$ …………………………………………………………………………………………………… (***)

Persamaan di atas dinamakan persamaan karakteristik dari A. Jika diekspansi, $\vert A - \lambda I \vert$ merupakan suatu suku banyak dalam λ dan dinamakan suku banyak karakteristik dari A.

Contoh 1

Tentukan nilai eigen dari matriks $A = \begin{bmatrix}2 & -7 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}$ .

Jawab

$A - \lambda I = \begin{bmatrix}2 & -7 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 - \lambda & -7 \\ -2 & -3 - \lambda \end{bmatrix}$

Suku banyak karakteristik dari A adalah $\left| \begin{matrix}2 - \lambda & -7 \\ -2 & -3 - \lambda \end{matrix} \right| = \lambda^2 + \lambda - 20$ . Jadi persamaan karakteristik dari A adalah λ² + λ – 20 = 0. Dari persamaan kuadrat ini, kita mendapatkan dua akar yang berbeda, yaitu λ₁ = 4 dan λ₂ = -5.

Pertanyaannya sekarang adalah bagaimana menentukan vektor eigen bagi nilai-nilai eigen dari suatu matriks yang diberikan. Vektor eigen dari A bagi suatu nilai eigen λ adalah vektor bukan nol $\vec{x}$ yang memenuhi (*) di atas. Ini berarti bahwa vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan λ adalah vektor-vektor bukan nol dalam ruang solusi $(A - \lambda I) \vec{x} = \vec{0}$ . Ruang solusi tersebut dinamakan ruang eigen dari A untuk nilai eigen λ.

Dalil

Jika A adalah suatu matriks berukuran n × n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen.

λ adalah nilai eigen dari A.
Sistem persamaan $(A - \lambda I) \vec{x} = \vec{0}$ memiliki solusi nontrivial.
Terdapat vektor bukan nol $\vec{x} \in \mathbb{R}^n$ sedemikian hingga $A \vec{x} = \lambda \vec{x}$ .
λ merupakan suatu penyelesaian riil dari persamaan karakteristik $\vert A - \lambda I \vert = 0$ .

Contoh di bawah ini menunjukkan bagaimana menerapkan dalil di atas untuk menentukan ruang eigen suatu matriks persegi.

Contoh 2

Mengacu pada Contoh 1, tentukan ruang eigen dari A.

Jawab

Menurut definisi di atas, $\vec{x} = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ adalah vektor eigen dari A bagi nilai eigen λ jika dan hanya jika $\vec{x}$ merupakan solusi nontrivial dari $(A - \lambda I) \vec{x} = \vec{0}$ . Jadi dalam hal ini kita harus menemukan solusi nontrivial dari persamaan berikut.

$\begin{bmatrix}2 - \lambda & -7 \\ -2 & -3 - \lambda \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0\end{bmatrix}$ ……………………………………………………………………………… (1)

Dari Contoh 1, diperoleh nilai-nilai eigen λ₁ = 4 dan λ₂ = -5.

Jika λ = λ₁ = 4 maka (1) menjadi:

$\begin{bmatrix}-2 & -7 \\ -2 & -7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 0\end{bmatrix}$

yang bersesuaian dengan persamaan linier -2x₁ – 7x₂ = 0. Persamaan ini memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian. Mudah ditunjukkan bahwa untuk setiap $t \in \mathbb{R}$ pasangan terurut (7t,-2t) merupakan solusi persamaan tersebut. Oleh karena itu, ruang eigen dari A bagi λ = 4 adalah $E_1 = \begin{Bmatrix} t \begin{bmatrix} 7 \\ -2 \end{bmatrix} \Bigr| t \in \mathbb{R} \end{Bmatrix}$ .

Jika λ = λ₂ = -5 maka (1) menjadi:

$\begin{bmatrix}7 & -7 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 0\end{bmatrix}$

Dengan menerapkan beberapa operasi baris elementer, dapat dibuktikan bahwa matriks $\begin{bmatrix}7 & -7 \\ -2 & 2 \end{bmatrix}$ ekivalen dengan $\begin{ bmatrix}1 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ . Ini bersesuaian dengan persamaan linier x₁ – x₂ = 0. Persamaan ini memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian. Mudah ditunjukkan bahwa untuk setiap $t \in \mathbb{R}$ pasangan terurut (t,t) merupakan solusi persamaan tersebut. Oleh karena itu, ruang eigen dari A bagi λ = -5 adalah $E_2 = \begin{Bmatrix} t \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \Bigr| t \in \mathbb{R} \end{Bmatrix}$ .

Contoh 3

Perhatikan matriks $A = \begin{bmatrix}5 & 6 & 2 \\ 0 & -1 & -8 \\ 1 & 0 & -2 \end{bmatrix}$ . Tentukan ruang-ruang eigen-nya.

Jawab

Dari dalil di atas, diperoleh bahwa untuk mendapatkan nilai eigen dari A kita harus mencari solusi dari persamaan karakteristik $\vert A - \lambda I \vert = 0$ .

$\left| \begin{matrix}5 - \lambda & 6 & 2 \\ 0 & -1 - \lambda & -8 \\ 1 & 0 & -2 - \lambda \end{matrix} \right| = 0 \\ \lambda^3 - 2 \lambda^2 - 15 \lambda + 36 = 0 \\ (\lambda - 3)^2 (\lambda + 4) = 0$ .

Jadi, λ = 3 atau λ = -4.

Untuk menentukan ruang eigen dari A bagi λ = 3, substitusikan λ = 3 ke dalam sistem persamaan $(A - \lambda I) \vec{x} = \vec{0}$ . Dengan memisalkan $\vec{x} = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$ , diperoleh:

$\begin{bmatrix}2 & 6 & 2 \\ 0 & -4 & -8 \\ 1 & 0 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ ……………………………………………………………………………….. (2)

Dengan menerapkan beberapa operasi baris elementer, dapat ditunjukkan bahwa himpunan penyelesaian (2) sama dengan himpunan penyelesaian (3) di bawah ini.

$\begin{bmatrix}1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ …………………………………………………………………………………. (3)

Perhatikan bahwa (3) bersesuaian dengan sistem persamaan linier $\left\{ \begin{matrix} x_1 & & -5 x_3 = 0 \\ & x_2 & + 2x_3 = 0 \end{matrix}$ .

Himpunan penyelesaian sistem ini adalah $E_1 = \begin{Bmatrix} t \begin{bmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} \Bigr| t \in \mathbb{R} \end{Bmatrix}$ . Ini merupakan ruang eigen dari A bagi λ = 3.

Jika λ = -4, maka $A - \lambda I = \begin{bmatrix}9 & 6 & 2 \\ 0 & 3 & -8 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ , yang ekivalen dengan $\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -8/3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ . Jika $\vec{x} = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$ , matriks tersebut bersesuaian dengan sistem persamaan linier yang direpresentasikan sebagai $\begin{bmatrix }1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -8/3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix }0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ . Sistem tersebut memiliki x₃ sebagai satu-satunya variabel bebas. Jadi, jika kita menetapkan x₃ = 3t untuk sembarang $t \in \mathbb{R}$ maka x₂ = 8t dan x₁ = -6t. Akibatnya, ruang eigen dari A bagi λ = -4 adalah $E_2 = \begin{Bmatrix} t \begin{bmatrix} -6 \\ 8 \\ 3 \end{bmatrix} \Bigr| t \in \mathbb{R} \end{Bmatrix}$ .