MATRIKS AKAR KUADRAT

Juli 28th, 2021

Istilah akar kuadrat sudah biasa kita temukan sejak tingkat sekolah dasar. Namun akar kuadrat yang dimaksud di sini adalah akar kuadrat dari suatu bilangan nyata tak negatif.

 

Satu hal yang sering disalahartikan namun ada hubungannya dengan akar kuadrat adalah penyelesaian dari suatu persamaan kuadrat. Sebagai contoh, persamaan kuadrat x2 = 16 memiliki dua buah penyelesaian riil, yaitu x = \sqrt{16} = 4 atau x = - \sqrt{16} = -4. Berbeda dengan akar kuadrat suatu bilangan nyata: akar kuadrat dari suatu bilangan nyata tak negatif selalu tidak negatif. Secara matematis dapat dituliskan \sqrt{x^2}=|x| untuk setiap x \in \mathbb{R}.

 

Sekarang, bagaimana apabila ditemukan “persamaan kuadrat” dalam matriks? Sebagai contoh, misalnya B = \begin{pmatrix}2 & -2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}. Matriks X yang memenuhi persamaan X2 = B (atau X.X =B) , apabila persamaan ini memiliki solusi, dinamakan matriks akar kuadrat. Penyelesaian bagi X2 = B, apabila ada, dilambangkan dengan B1/2.

 

Bagaimana cara menentukan matriks akar kuadrat tersebut? Perhatikan uraian berikut ini.

Misalkan A adalah suatu matriks definit positif dengan dekomposisi spektral sebagai berikut.

dengan (\lambda_i,\vec{e}_i) adalah pasangan-pasangan nilai eigen – vektor eigen yang semua vektor eigennya yang bernorma satu dan saling tegak lurus. Dengan mendefinisikan matriks P= (\vec{e}_1 \quad \vec{e}_2 \quad \cdots \quad \vec{e}_k) dan matriks \Lambda = [\lambda_{ij}] di mana \lambda_{ij} = \begin{Bmatrix} 0 ; \: i \neq j \\ \lambda_i  ; \: i = j \end{matrix}, dekomposisi tersebut dapat juga dinyatakan sebagai:

A = P \Lambda P'

Matriks yang didefinisikan sebagai A^{1/2}= \sum_{i=1}^k \sqrt{\lambda_i} \vec{e}_i \cdot \vec{e}_i \: ' merupakan suatu solusi persamaan matriks X2 = A. (Dengan kata lain, A1/2.A1/2 = A.) Selanjutnya, jika kita definisikan matriks \Lambda^{1/2}= [l_{ij}] dengan l_{ij} = \begin{Bmatrix} 0 ; \: i \neq j \\ \sqrt{\lambda_i}  ; \: i = j \end{matrix} maka A1/2 dapat juga dinyatakan sebagai:

A^{1/2}=P \Lambda^{1/2}P'

 

Beberapa sifat matriks akar kuadrat di atas adalah sebagai berikut.

  1. A1/2 merupakan suatu matriks simetris.
  2. Invers matriks A1/2, yaitu (A^{1/2})^{-1} dan dilambangkan dengan A-1/2, adalah: A^{-1/2}=P \Lambda^{-1/2}P' dengan \Lambda^{-1/2}=[l_{ij}] di mana l_{ij} = \begin{Bmatrix} 0 ; \: i \neq j \\ \frac{1}{\sqrt{\lambda_i}}  ; \: i = j \end{matrix}.
  3. Kuadrat dari A-1/2 merupakan invers matriks A. Dengan kata lain, A-1/2.A-1/2 = A-1.

 

Contoh Soal
Diketahui matriks definit positif A = \begin{pmatrix}2 & -2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}. Tentukan A1/2, A-1/2, dan A-1.

Jawab
Nilai-nilai eigen dari A adalah λ1 = 6 dan λ2 = 1. Untuk λ1 = 6, diperoleh \vec{e}_1 = \begin{pmatrix}1/\sqrt{5} \\ -2/\sqrt{5} \end{pmatrix} dan untuk λ2 = 1 diperoleh \vec{e}_2 = \begin{pmatrix}2/\sqrt{5} \\ 1/\sqrt{5} \end{pmatrix}. Dari \vec{e}_1, \: \vec{e}_2, λ1, dan λ2 tersebut diperoleh matriks P = \begin{pmatrix}1/\sqrt{5} & 2/\sqrt{5} \\ -2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5} \end{pmatrix}, \Lambda = \begin{pmatrix}6 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, dan dekomposisi spektral sebagai berikut.

Untuk menentukan A1/2, tentukan terlebih dahulu Λ-1/2, yaitu \Lambda^{-1/2}= \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{6}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{1}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{6}} & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Selanjutnya diperoleh:

Untuk menentukan A-1, kita dapat juga menggunakan rumus yang telah diuraikan sebelumnya:

A-1/2 . A-1/2 = A-1

Jadi,

 

Catatan Penyerta A-1

Tentu ada cara lain untuk menentukan A-1, namun di pembahasan ini sengaja digunakan A^{-1/2} \cdot A^{-1/2} = A^{-1} di samping cara lain, sekedar untuk mendemonstrasikan rumus tersebut. Selanjutnya, jika A memiliki dekomposisi spektral A = PΛP’, inversnya dapat pula dinyatakan sebagai A = PΛ-1P’ atau A = \sum_{i=1}^k \frac{1}{\lambda_i} \vec{e}_i \cdot \vec{e}_i \: ' dengan \Lambda^{-1}=[l_{ij}], di mana  l_{ij} = \begin{Bmatrix} 0 ; \: i \neq j \\ \frac{1}{\lambda_i}  ; \: i = j \end{matrix}.

 

Jika A-1 pada contoh soal di atas dikerjakan dengan cara lain tersebut, maka \Lambda^{-1}= \begin{pmatrix}\frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}  \end{pmatrix} dan selanjutnya diperoleh:

 

Tagging:

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *