INTEGRAL TAK TENTU (INDEFINITE INTEGRALS) – (2)

Desember 29th, 2016

Kesalahan umum menentukan antiturunan

Salah satu rumus yang pernah dituliskan di post saya yang lalu, misalnya:

[pmath]int{ }{ }{cos x ~ dx} ~=~ sin x ~+~ C[/pmath]

Tanpa pemahaman yang cukup, dengan menggunakan rumus itu sebagian orang salah dalam menentukan ∫ cos (2x + 1) dx misalnya. Ditulisnya: ∫ cos (2x + 1) dx = sin (2x + 1) + C. Padahal, dengan aturan rantai [pmath]{d(sin (2x ~+~ 1))}/{dx} ~=~ 2 cos (2x ~+~ 1)[/pmath], bukan cos (2x + 1). Demikian juga, ∫ecos x dx ≠ ecos x + C karena [pmath]{d(e^{cos x})}/{dx} <> e^{cos x}[/pmath].

Pada post ini akan saya uraikan beberapa contoh teknik menentukan antiturunan. Tapi sebelumnya perlu diuraikan dulu rumus-rumus mengenai integral tak tentu yang sering dipakai dalam penghitungan integral tak tentu.

Integral dari kombinasi linier fungsi-fungsi (A14)

Misalkan f1, f2, …, fn masing-masing memiliki suatu antiturunan, dan k1, k2, …, kn konstanta-konstanta. Maka berlaku:

∫[k1f1(x) + k2f2(x) + … + knfn(x)] dx = k1∫f1(x) dx + k2∫f2(x) dx + … + kn∫fn(x) dx

Contoh 1

Hitunglah ∫(2 cos x + 5 sin x – 7x) dx.

Jawab:

Pada contoh ini, k1 = 2, f1(x) = cos x, k2 = 5, f2(x) = sin x, k3 = -1, dan f3(x) = 7x sehingga integral tersebut dapat dinyatakan sebagai ∫[k1f1(x) + k2f2(x) + k3f3(x)] dx. Menurut (A14):

∫[k1f1(x) + k2f2(x) + k3f3(x)] dx = k1∫f1(x) dx + k2∫f2(x) dx + k3∫f3(x) dx

Dari rumus (A7), (A8), dan (A13) pada post saya yang lalu, dapat disimpulkan:

[pmath]int{ }{ }{cos x ~ dx} ~=~ sin x ~+~ C[/pmath]

[pmath]int{ }{ }{sin x ~ dx} ~=~ – ~ cos x ~+~ C[/pmath]

[pmath]int{ }{ }{7^x ~ dx} ~=~ 1/{ln 7} ~ 7^x ~+~ C[/pmath]

sehingga:

[pmath]int{ }{ }{(2 cos x ~+~ 5 sin x ~-~ 7^x) ~ dx} ~=~ 2 sin x ~+~ 5 (- ~ cos x) + (-1) ~.~ 1/{ln 7} ~ 7^x ~+~ C[/pmath]

[pmath]int{ }{ }{(2 cos x ~+~ 5 sin x ~-~ 7^x) ~ dx} ~=~ 2 sin x ~-~ 5 cos x ~-~ 1/{ln 7} ~.~ 7^x ~+~ C[/pmath]

Teknik integrasi dengan substitusi

Misalkan g suatu fungsi yang memiliki turunan dan F suatu antiturunan dari f. Maka berlaku:

∫f(g(x)).g’(x) dx = F(g(x)) + C ………………………………………………………… (*)

Jika u = g(x), (*) dapat dinyatakan dengan notasi Leibniz sebagai berikut:

∫f(u) du = F(u) + C

Catatan:

Teorema tersebut dapat dikatakan merupakan Aturan Rantai versi kebalikannya: Karena F merupakan antiturunan dari f, menurut Aturan Rantai: F’(g(x)) = f(g(x)).g’(x). Dengan mengintegralkan kedua ruas kesamaan ini, dengan mudah dapat dilihat keberlakuan (*)

Contoh 2

Tentukanlah ∫2x sin (x2 + 1) dx.

Jawab:

Perhatikan bahwa sin (x2 + 1) dapat dinyatakan sebagai f(g(x)) dengan f(x) = sin x dan g(x) = x2 + 1. Juga perhatikan bahwa g’(x) = 2x. Integral yang ditanyakan dapat dinyatakan sebagai

∫2x sin (x2 + 1) dx = ∫sin (x2+1).2x dx = ∫f(g(x)).g’(x) dx

Menurut (*), ∫f(g(x)).g’(x) dx = F(g(x)) + C, dengan F adalah suatu antiturunan dari f. Karena ∫sin x dx = – cos x + C, kita mengambil F(x) = – cos x sehingga F(g(x)) = – cos (x2 + 1). Jadi:

∫2x sin (x2 + 1) dx = ∫sin (x2+1).2x dx = ∫f(g(x)).g’(x) dx = F(g(x)) + C = – cos (x2+1) + C

Contoh 3

Tentukan [pmath]int{ }{ }{x/{x^2 ~+~ 4} ~ dx}[/pmath]

Jawab:

Perhatikan bahwa [pmath]1/{x^2 ~+~ 4}[/pmath] dapat dinyatakan sebagai f(g(x)) dengan f(x) = 1/x dan g(x) = x2 + 4. Juga perhatikan bahwa g’(x) = 2x dan [pmath]x ~=~ 1/2 g prime (x)[/pmath]. Integral yang ditanyakan dapat dinyatakan sebagai:

[pmath]int{ }{ }{x/{x^2 ~+~ 4} ~ dx} ~=~ int{ }{ }{f(g(x)) ~.~ 1/2 g prime (x) ~ dx}[/pmath]

Penggunaan (A14) di atas menghasilkan:

[pmath]int{ }{ }{x/{x^2 ~+~ 4} ~ dx} ~=~ 1/2 int{ }{ }{f(g(x)) ~.~ g prime (x) ~ dx}[/pmath]

Menurut (*), ∫f(g(x)).g’(x) dx = F(g(x)) + C, dengan F adalah suatu antiturunan dari f. Karena [pmath]int{ }{ }{1/x ~ dx} ~=~ ln delim{|}{x}{|} ~+~ C[/pmath], kita mengambil F(x) = ln |x| sehingga F(g(x)) = ln |x2 + 4|. Jadi:

[pmath]int{ }{ }{x/{x^2 ~+~ 4} ~ dx} ~=~ 1/2 ln delim{|}{x^2 ~+~ 4}{|} ~+~ C[/pmath]

 



Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *