TEKNIK INTEGRASI FUNGSI TRIGONOMETRI

Juli 28th, 2016

Jenis I

Bentuk [pmath]int{ }{ }{{cos}^n x~dx}[/pmath] dengan n bilangan ganjil positif:

Teknik penyelesaiannya adalah dengan menuliskan kembali cosn x menjadi (cosn-1 x).cos x. Kemudian, terhadap cos x yang berpangkat genap, substitusikan cos2 x = 1 – sin2 x.

Contoh:

[pmath]int{ }{ }{{cos}^5 x~dx}=int{ }{ }{{cos}^4 x.cos{x}~dx}=int{ }{ }{({cos}^2 x)^2.cos{x}~dx}=int{ }{ }{(1-{sin}^2 x)^2.cos{x}~dx}[/pmath]

[pmath]int{ }{ }{{cos}^5 x~dx}=int{ }{ }{({sin}^4 x-2{sin}^2 x+1)cos{x}~dx}=1/5 {sin}^5 x-2/3 {sin}^3 x+sin{x}+C[/pmath]

Bentuk [pmath]int{ }{ }{{sin}^n x~dx}[/pmath]ditangani secara serupa. sinn x dinyatakan sebagai (sinn-1 x).sin x. Selanjutnya terhadap sin x yang berpangkat genap, substitusikan sin2 x = 1 – cos2 x.

Contoh:

[pmath]int{ }{ }{{sin}^3 x~dx}=int{ }{ }{{sin}^2 x.sin{x}~dx}=int{ }{ }{(1-{cos}^2 x)sin{x}~dx}=-cos{x}+1/3 {cos}^3 x+C[/pmath]

Jenis II

Bentuk [pmath]int{ }{ }{{cos}^n x~dx}[/pmath] dengan n bilangan genap positif.

Apabila n = 2m, cosn x dapat dinyatakan sebagai (cos2 x)m kemudian dapat kita gunakan substitusi [pmath]{cos}^2 x={1+cos{2x}}/2[/pmath].

Contoh:

[pmath]int{ }{ }{{cos}^6 x~dx}=int{ }{ }{({cos}^2 x)^3 dx}=int{ }{ }{({1+cos{2x}}/2)^3 dx}[/pmath]

[pmath]int{ }{ }{{cos}^6 x~dx}=1/8 int{ }{ }{({cos}^3 2x+3{cos}^2 2x+3 cos{2x}+1)dx}[/pmath]

Untuk menyelesaikan polinom dalam cos 2x ini, perhatikan bahwa [pmath]int{ }{ }{{cos}^3 2x~dx}[/pmath] memiliki bentuk [pmath]int{ }{ }{{cos}^n x~dx}[/pmath] dengan n bilangan ganjil positif sehingga dapat diselesaikan dengan cara yang telah diuraikan sebelumnya.

Dapat ditunjukkan bahwa [pmath]int{ }{ }{{cos}^3 2x~dx}=1/2 sin{2x}-1/6 {sin}^3 2x+C[/pmath].

Selanjutnya, perhatikan bahwa [pmath]int{ }{ }{{cos}^2 2x~dx}=int{ }{ }{{1+cos{4x}}/2dx}=x/2+1/8 sin{4x}+C[/pmath]

Akibatnya,

[pmath]int{ }{ }{{cos}^6 x~dx}=1/8 delim{[}{(1/2 sin{2x}-1/6 {sin}^3 2x)+3(x/2+1/8 sin{4x})+3/2 sin{2x}+x}{]}+K[/pmath]

[pmath]int{ }{ }{{cos}^6 x~dx}=5/16 x+1/4 sin{2x}+3/64 sin{4x}-1/48 {sin}^3 2x+K[/pmath]

Bentuk [pmath]int{ }{ }{{sin}^n x~dx}[/pmath] dengan n bilangan genap positif diselesaikan dengan cara serupa itu. Substitusi yang digunakan adalah [pmath]{sin}^2 x={1-cos{2x}}/2[/pmath].

Contoh:

[pmath]int{ }{ }{{sin}^4 x~dx}=int{ }{ }{({sin}^2 x)^2 dx}=int{ }{ }{({1-cos{2x}}/2)^2dx}=1/4 int{ }{ }{({cos}^2 2x+2 cos{2x}+1)dx}[/pmath]

[pmath]int{ }{ }{{cos}^2 2x~dx}[/pmath] memiliki bentuk [pmath]int{ }{ }{{cos}^n x~dx}[/pmath] dengan n bilangan genap positif yang penyelesaiannya sudah diuraikan sebelum ini, yaitu [pmath]int{ }{ }{{cos}^2 2x~dx}=int{ }{ }{{1+cos{4x}}/2dx}=x/2+1/8 sin{4x}+C[/pmath]. Selanjutnya diperoleh:

[pmath]int{ }{ }{{sin}^4 x~dx}=1/4 delim{[}{(x/2+1/8 sin{4x})+sin{2x}+x}{]}+K=3/8 x+1/4 sin{2x}+1/32 sin{4x}+K[/pmath]

Jadi, [pmath]int{ }{ }{{sin}^4 x~dx}=3/8 x+1/4 sin{2x}+1/32 sin{4x}+K[/pmath].

 

Jenis III

Bentuk [pmath]int{ }{ }{{sin}^m x.{cos}^n x~dx}[/pmath] dengan m atau n bilangan asli ganjil.

Apabila m yang ganjil, nyatakan sinm x dalam bentuk (sinm-1 x).sin x kemudian substitusikan sin2 x menggunakan identitas sin2 x = 1 – cos2 x. Jika n yang ganjil, nyatakan cosn x dalam bentuk (cosn-1 x).cos x kemudian substitusikan cos2 x menggunakan identitas cos2 x = 1 – sin2 x.

 

Contoh:

[pmath]int{ }{ }{{sin}^3 x.sqrt{cos{x}}dx}=int{ }{ }{{sin}^2 x.sin{x}.{cos}^{1/2}x~dx}=int{ }{ }{(1-{cos}^2 x){cos}^{1/2}x.sin{x}~dx}[/pmath]

[pmath]int{ }{ }{{sin}^3 x.sqrt{cos{x}}dx}=int{ }{ }{({cos}^{1/2} x-{cos}^{5/2} x)sin{x}~dx}=-2/3 {cos}^{3/2} x+2/7 {cos}^{7/2} x+C[/pmath]

Jadi, [pmath]int{ }{ }{{sin}^3 x.sqrt{cos{x}}dx}=-2/3 {cos}^{3/2} x+2/7 {cos}^{7/2} x+C[/pmath].

 

Di antara banyak teknik menyelesaikan integral tak tentu yang melibatkan fungsi trigonometri, ada suatu teknik substitusi yang kadang bermanfaat, yaitu substitusi u = tan (x/2). Dengan substitusi ini, berlaku:

[pmath]dx={2 du}/{1+u^2}[/pmath]

[pmath]sin{x}={2u}/{1+u^2}[/pmath]

[pmath]cos{x}={1-u^2}/{1+u^2}[/pmath]

[pmath]tan{x}={2u}/{1-u^2}[/pmath]

 

Contoh:

[pmath]int{ }{ }{{dx}/{1+sin{x}}}=int{ }{ }{1/{1+{2u}/{1+u^2}}~.~{2~du}/{1+u^2}}=int{ }{ }{{2~du}/{(u+1)^2}}=-2(u+1)^{-1}+C[/pmath]

Substitusikan kembali u = tan (x/2) ke hasil terakhir di atas, diperoleh:

[pmath]int{ }{ }{{dx}/{1+sin{x}}}={-2}/{1+tan{x/2}}+C[/pmath]

 

Contoh:

[pmath]int{ }{ }{{dx}/{1+sin{x}+cos{x}}}=int{ }{ }{1/{1+{2u}/{1+u^2}+{1-u^2}/{1+u^2}}~.~{2~du}/{1+u^2}}=int{ }{ }{{du}/{1+u}}=ln delim{|}{1+u}{|} +C[/pmath]

Substitusikan kembali u = tan (x/2) ke hasil terakhir di atas, diperoleh:

[pmath]int{ }{ }{{dx}/{1+sin{x}+cos{x}}}= ln delim{|}{1+tan{x/2}}{|} +C[/pmath]

(bersambung)

 

Berikut ini adalah tautan-tautan yang berhubungan dengan teknik integrasi fungsi trigonometri.

  1. Berbagai Identitas Trigonometri
  2. Rumus-rumus reduksi integrasi fungsi trigonometri
Tagging: ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *