PEMBUKTIAN RUMUS REDUKSI INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

Agustus 13th, 2016

Bagaimana apabila Anda diminta untuk menyelesaikan misalnya ∫sin20 x dx atau ∫cos35 x dx? Untuk menyelesaikan ini, Anda dapat menggunakan teknik-teknik integrasi yang pernah saya muat di posting terdahulu. Dapat juga integral semacam itu diselesaikan dengan teknik integral parsial dan itu akan memakan waktu cukup lama. Dengan rumus-rumus reduksi pada posting saya kali ini, integral semacam tadi lebih cepat diselesaikan. Perhatikan rumus-rumus reduksi berikut ini.

Rumus 1:[pmath]int{ }{ }{{sin}^n u~du}={-1}/n {sin}^{n-1}u.cos{u}+{n-1}/n int{ }{ }{{sin}^{n-2}u~du}[/pmath]

Rumus 2:[pmath]int{ }{ }{{cos}^n u~du}=1/n {cos}^{n-1}u.sin{u}+{n-1}/n int{ }{ }{{cos}^{n-2}u~du}[/pmath]

Rumus 3:[pmath]int{ }{ }{{tan}^n u~du}=1/{n-1} {tan}^{n-1}u-int{ }{ }{{tan}^{n-2}u~du}[/pmath]; n ≠ 1

Rumus 4:[pmath]int{ }{ }{{cot}^n u~du}={-1}/{n-1} {cot}^{n-1}u-int{ }{ }{{cot}^{n-2}u~du}[/pmath]; n ≠ 1

Rumus 5:[pmath]int{ }{ }{{sec}^n u~du}=1/{n-1} {sec}^{n-2}u.{tan}u+{n-2}/{n-1} int{ }{ }{{sec}^{n-2}u~du}[/pmath]; n ≠ 1

Rumus 6:[pmath]int{ }{ }{{csc}^n u~du}={-1}/{n-1} {csc}^{n-2}u.{cot}u+{n-2}/{n-1} int{ }{ }{{csc}^{n-2}u~du}[/pmath]; n ≠ 1

 

Pembuktian rumus-rumus reduksi tersebut (kecuali Rumus 3 dan Rumus 4) adalah menggunakan teknik integral parsial ∫p dq = pq – ∫q dp

 

Pembuktian Rumus 1: (menggunakan integral parsial)

Untuk membuktikan Rumus 1, nyatakan ∫sinn u du sebagai ∫sinn-1 u.sin u du. Selanjutnya, kita misalkan p = sinn-1 u dan dq = sin u du. Dengan demikian q = -cos u dan dp = (n-1)sinn-2 u.cos u du sehingga:

∫sinn u du = ∫sinn-1 u.sin u du = -sinn-1u.cos u + (n-1)∫sinn-2 u.cos2 u du.

Dengan substitusi cos2 u = 1 – sin2 u, diperoleh:

∫sinn u du = -sinn-1u.cos u + (n-1)∫sinn-2 u du – (n-1)∫sinn u du

n∫sinn u du = -sinn-1u.cos u + (n-1)∫sinn-2 u du

[pmath]int{ }{ }{{sin}^n u~du}={-1}/n {sin}^{n-1}u.cos{u}+{n-1}/n int{ }{ }{{sin}^{n-2}u~du}[/pmath]

 

Pembuktian Rumus 2: (menggunakan integral parsial)

Untuk membuktikan Rumus 2, nyatakan ∫cosn u du sebagai ∫cosn-1 u.cos u du. Selanjutnya, kita misalkan p = cosn-1 u dan dq = cos u du. Dengan demikian q = sin u dan dp = -(n-1)cosn-2 u.sin u du sehingga:

∫cosn u du = ∫cosn-1 u.cos u du = cosn-1u.sin u + (n-1)∫cosn-2 u.sin2 u du.

Dengan substitusi sin2 u = 1 – cos2 u, diperoleh:

∫cosn u du = cosn-1u.sin u + (n-1)∫cosn-2 u du – (n-1)∫cosn u du

n∫cosn u du = cosn-1u.sin u + (n-1)∫cosn-2 u du

[pmath]int{ }{ }{{cos}^n u~du}=1/n {cos}^{n-1}u.sin{u}+{n-1}/n int{ }{ }{{cos}^{n-2}u~du}[/pmath]

 

Pembuktian Rumus 3:

Untuk membuktikan Rumus 3, nyatakan ∫tann u du sebagai ∫tann-2 u.tan2 u du. Selanjutnya, substitusikan tan2 u = sec2 u – 1 sehingga integral tersebut menjadi ∫tann-2 u.(sec2 u – 1) du. Selanjutnya,

∫tann u du = ∫tann-2 u.(sec2 u – 1) du = ∫tann-2 u.sec2 u du – ∫tann-2 u du

[pmath]int{ }{ }{{tan}^n u~du}=1/{n-1} {tan}^{n-1}u-int{ }{ }{{tan}^{n-2}u~du}[/pmath]

 

Pembuktian Rumus 4:

Untuk membuktikan Rumus 4, nyatakan ∫cotn u du sebagai ∫cotn-2 u.cot2 u du. Selanjutnya, substitusikan cot2 u = csc2 u – 1 sehingga integral tersebut menjadi ∫cotn-2 u.(csc2 u – 1) du. Selanjutnya,

∫cotn u du = ∫cotn-2 u.(csc2 u – 1) du = ∫cotn-2 u.csc2 u du – ∫cotn-2 u du

[pmath]int{ }{ }{{cot}^n u~du}={-1}/{n-1} {cot}^{n-1}u-int{ }{ }{{cot}^{n-2}u~du}[/pmath]

 

Pembuktian Rumus 5: (menggunakan integral parsial)

Untuk membuktikan Rumus 5, nyatakan ∫secn u du sebagai ∫secn-2 u.sec2 u du. Selanjutnya, kita misalkan p = secn-2 u dan dq = sec2 u du. Dengan demikian q = tan u dan dp = (n-2)secn-3 u.(sec u.tan u) du = (n-2)secn-2 u.tan u du sehingga:

∫secn u du = ∫secn-2 u.sec2 u du = secn-2 u.tan u – (n-2)∫secn-2 u.tan2 u du

Dengan substitusi tan2 u = sec2 u – 1, diperoleh:

∫secn u du = secn-2 u.tan u – (n-2)∫secn u du + (n-2)∫secn-2 u du

(n-1)∫secn u du = secn-2 u.tan u + (n-2)∫secn-2 u du

[pmath]int{ }{ }{{sec}^n u~du}=1/{n-1} {sec}^{n-2}u.{tan}u+{n-2}/{n-1} int{ }{ }{{sec}^{n-2}u~du}[/pmath]

 

Pembuktian Rumus 6: (menggunakan integral parsial)

Untuk membuktikan Rumus 6, nyatakan ∫cscn u du sebagai ∫cscn-2 u.csc2 u du. Selanjutnya, kita misalkan p = cscn-2 u dan dq = csc2 u du. Dengan demikian q = -cot u dan dp = (n-2)cscn-3 u.(-csc u.cot u) du = -(n-2)cscn-2 u.cot u du sehingga:

∫cscn u du = ∫cscn-2 u.csc2 u du = -cscn-2 u.cot u – (n-2)∫cscn-2 u.cot2 u du

Dengan substitusi cot2 u = csc2 u – 1, diperoleh:

∫cscn u du = -cscn-2 u.cot u – (n-2)∫cscn u du + (n-2)∫cscn-2 u du

(n-1)∫cscn u du = -cscn-2 u.cot u + (n-2)∫cscn-2 u du

[pmath]int{ }{ }{{csc}^n u~du}={-1}/{n-1} {csc}^{n-2}u.{cot}u+{n-2}/{n-1} int{ }{ }{{csc}^{n-2}u~du}[/pmath]

 

Contoh penerapan rumus-rumus reduksi tersebut dapat dipelajari di tautan berikut: (tautan belum tersedia)

 

 

 

 

 

 



Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *