INTEGRAL TAK TENTU (INDEFINITE INTEGRALS) – (1)

Di post saya yang lalu, kita mempertanyakan: “Apakah turunan dari y = x⁵?” Kita jawab: Turunan dari y = x⁵ adalah y’ = 5x⁴. Sekarang bagaimana kalau pertanyaannya seperti ini: “Jika y’ = 5x⁴, maka y = … ?”. Dalam hal ini, kita diminta mencari y sedemikian hingga y’ = 5x⁴. Dalam “bahasa kalkulus”, ini sama dengan mempertanyakan integral tak tentu dari y’ = 5x⁴. Apakah y = x⁵ merupakan jawaban dari pertanyaan tersebut? Belum tentu. Ada tak berhingga banyaknya kemungkinan bagi y. Mungkin saja y = x⁵ + 8. Mungkin juga y = x⁵ – 15. Mungkin juga y = x⁵ + √2. Ketiganya ini menghasilkan y’ = 5x⁴. Karena itu kita dapat menuliskan jawaban bagi pertanyaan ini sebagai berikut: y = x⁵ + C, dengan C suatu konstanta. y = x⁵ + C merupakan suatu antiturunan (atau integral tak tentu) dari y’ = 5x⁴. Dapat kita tuliskan ∫5x⁴ dx = x⁵ + C. Sebelum melanjutkan, kita pelajari terlebih dahulu definisi berikut.

 

Definisi Antiturunan

F disebut suatu antiturunan f pada selang I jika untuk setiap x ∊ I berlaku F’(x) = f(x).

Catatan:

1. Jika x merupakan titik ujung interval I, F’(x) yang dimaksud di atas merupakan turunan sepihak.
2. Nama lain dari antiturunan adalah integral tak tentu (indefinite integrals)

 

Rumus-rumus Integral Tak Tentu

Perhatikan suatu fungsi f dengan [pmath]f(x) ~=~ 1/{n+1} x^{n+1}[/pmath]. Dengan rumus R1 pada post saya mengenai rumus-rumus turunan, kita dapatkan bahwa f’(x) = xⁿ. Menggunakan definisi antiturunan, kita dapat menuliskan:

[pmath]int{ }{ }{x^n ~ dx} ~=~ 1/{n+1} x^{n+1} ~+~ C[/pmath] …………………………………….. (A1)

dengan n adalah suatu bilangan rasional.

 

Selanjutnya, karena turunan dari y = x adalah y’ = 1, dapat kita tuliskan:

[pmath]int{ }{ }{1 ~ dx} ~=~ x ~+~ C[/pmath]

atau [pmath]int{ }{ }{dx} ~=~ x ~+~ C[/pmath] ………………………………………………………….. (A2)

dengan C suatu konstanta.

Sekarang, misalkan y = kx, dengan k merupakan suatu konstanta. Karena y’ = k, definisi antiturunan mengakibatkan kita dapat menyatakan bahwa:

[pmath]int{ }{ }{k ~ dx} ~=~ kx ~+~ C[/pmath] …………………………………………………………… (A4)

 

Penggunaan rumus (R3) pada post saya yang lalu, untuk c = 1 memberikan hasil [pmath]{d(e^x)}/{dx} ~=~ e^x[/pmath]. Jadi, menggunakan definisi antiturunan, kita dapat menyimpulkan:

[pmath]int{ }{ }{e^x ~ dx} ~=~ e^x ~+~ C[/pmath] …………………………………………………….. (A5)

 

Rumus (R11) pada post saya yang lalu menyatakan bahwa [pmath]{d(ln x)}/{dx} ~=~ 1/x[/pmath]. Menggunakan definisi antiturunan, kita dapat menyatakan:

[pmath]int{ }{ }{1/x ~ dx} ~=~ ln delim{|}{x}{|} ~+~ C[/pmath] …………………………………………………….. (A6)

 

Dengan definisi antiturunan, padanan dari rumus (R5) sampai dengan (R10) pada post saya yang lalu dapat dinyatakan sebagai:

[pmath]int{ }{ }{cos x ~ dx} ~=~ sin x[/pmath] …………………………………………………………… (A7)

[pmath]int{ }{ }{sin x ~ dx} ~=~ – ~ cos x[/pmath] ………………………………………………………. (A8)

[pmath]int{ }{ }{sec^2 x ~ dx} ~=~ tan x[/pmath] ………………………………………………………. (A9)

[pmath]int{ }{ }{cosec x ~.~ cot x ~ dx} ~=~ – ~ cosec x[/pmath] ………………………………… (A10)

[pmath]int{ }{ }{sec x ~.~ tan x ~ dx} ~=~ sec x[/pmath] …………………………………………… (A11)

[pmath]int{ }{ }{cosec^2 x ~ dx} ~=~ – ~ cot x[/pmath] …………………………………………….. (A12)

Padanan rumus (R4):

[pmath]int{ }{ }{a^x ~ dx} ~=~ 1/{ln a} ~ a^x ~+~ C[/pmath] ……………………………………… (A13)

 

(bersambung)

 

Lihat juga materi lain terkait integral tak tentu:

Teknik integrasi fungsi trigonometri (1)

Teknik integrasi fungsi trigonometri (2)

Rumus-rumus reduksi integral fungsi trigonometri

 

 

 

 

 

 

 

Tagging: antiturunan, indefinite integral, integral tak tentu

Most visitors also read :

PENGENALAN INDUKSI MATEMATIKA



SUBRUANG VEKTOR



RUANG VEKTOR



MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DENGAN ELIMINASI GAUSS-JORDAN (1)