INTEGRAL TAK TENTU (INDEFINITE INTEGRALS) – (1)

Desember 23rd, 2016

Di post saya yang lalu, kita mempertanyakan: “Apakah turunan dari y = x5?” Kita jawab: Turunan dari y = x5 adalah y’ = 5x4. Sekarang bagaimana kalau pertanyaannya seperti ini: “Jika y’ = 5x4, maka y = … ?”. Dalam hal ini, kita diminta mencari y sedemikian hingga y’ = 5x4. Dalam “bahasa kalkulus”, ini sama dengan mempertanyakan integral tak tentu dari y’ = 5x4. Apakah y = x5 merupakan jawaban dari pertanyaan tersebut? Belum tentu. Ada tak berhingga banyaknya kemungkinan bagi y. Mungkin saja y = x5 + 8. Mungkin juga y = x5 – 15. Mungkin juga y = x5 + √2. Ketiganya ini menghasilkan y’ = 5x4. Karena itu kita dapat menuliskan jawaban bagi pertanyaan ini sebagai berikut: y = x5 + C, dengan C suatu konstanta. y = x5 + C merupakan suatu antiturunan (atau integral tak tentu) dari y’ = 5x4. Dapat kita tuliskan ∫5x4 dx = x5 + C. Sebelum melanjutkan, kita pelajari terlebih dahulu definisi berikut.

 

Definisi Antiturunan

F disebut suatu antiturunan f pada selang I jika untuk setiap x ∊ I berlaku F’(x) = f(x).

Catatan:

  1. Jika x merupakan titik ujung interval I, F’(x) yang dimaksud di atas merupakan turunan sepihak.
  2. Nama lain dari antiturunan adalah integral tak tentu (indefinite integrals)

 

Rumus-rumus Integral Tak Tentu

Perhatikan suatu fungsi f dengan f(x) ~=~ 1/{n+1} x^{n+1}. Dengan rumus R1 pada post saya mengenai rumus-rumus turunan, kita dapatkan bahwa f’(x) = xn. Menggunakan definisi antiturunan, kita dapat menuliskan:

int{ }{ }{x^n ~ dx} ~=~ 1/{n+1} x^{n+1} ~+~ C …………………………………….. (A1)

dengan n adalah suatu bilangan rasional.

 

Selanjutnya, karena turunan dari y = x adalah y’ = 1, dapat kita tuliskan:

int{ }{ }{1 ~ dx} ~=~ x ~+~ C

atau int{ }{ }{dx} ~=~ x ~+~ C ………………………………………………………….. (A2)

dengan C suatu konstanta.

Sekarang, misalkan y = kx, dengan k merupakan suatu konstanta. Karena y’ = k, definisi antiturunan mengakibatkan kita dapat menyatakan bahwa:

int{ }{ }{k ~ dx} ~=~ kx ~+~ C …………………………………………………………… (A4)

 

Penggunaan rumus (R3) pada post saya yang lalu, untuk c = 1 memberikan hasil {d(e^x)}/{dx} ~=~ e^x. Jadi, menggunakan definisi antiturunan, kita dapat menyimpulkan:

int{ }{ }{e^x ~ dx} ~=~ e^x ~+~ C …………………………………………………….. (A5)

 

Rumus (R11) pada post saya yang lalu menyatakan bahwa {d(ln x)}/{dx} ~=~ 1/x. Menggunakan definisi antiturunan, kita dapat menyatakan:

int{ }{ }{1/x ~ dx} ~=~ ln delim{|}{x}{|} ~+~ C …………………………………………………….. (A6)

 

Dengan definisi antiturunan, padanan dari rumus (R5) sampai dengan (R10) pada post saya yang lalu dapat dinyatakan sebagai:

int{ }{ }{cos x ~ dx} ~=~ sin x …………………………………………………………… (A7)

int{ }{ }{sin x ~ dx} ~=~ - ~ cos x ………………………………………………………. (A8)

int{ }{ }{sec^2 x ~ dx} ~=~ tan x ………………………………………………………. (A9)

int{ }{ }{cosec x ~.~ cot x ~ dx} ~=~ - ~ cosec x ………………………………… (A10)

int{ }{ }{sec x ~.~ tan x ~ dx} ~=~ sec x …………………………………………… (A11)

int{ }{ }{cosec^2 x ~ dx} ~=~ - ~ cot x …………………………………………….. (A12)

Padanan rumus (R4):

int{ }{ }{a^x ~ dx} ~=~ 1/{ln a} ~ a^x ~+~ C ……………………………………… (A13)

 

(bersambung)

 

Lihat juga materi lain terkait integral tak tentu:

Teknik integrasi fungsi trigonometri (1)

Teknik integrasi fungsi trigonometri (2)

Rumus-rumus reduksi integral fungsi trigonometri

 

 

 

 

 

 

 

Tagging: , ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *