SOAL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA

Juli 18th, 2021

Soal 1

Tentukan komponen utama populasi Y1 dan Y2 bagi matriks kovariansi \Sigma = \begin{pmatrix}5 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}. Kemudian hitunglah proporsi total variansi populasi yang dijelaskan komponen utama pertamanya.

 

Jawab
Mencari nilai-nilai dan vektor-vektor eigen:

(λ-6)(λ-1) = 0

λ1 = 6 dan λ2 = 1

Dari λ = 6 dihasilkan vektor eigen \vec{e}_1 = \begin{pmatrix}2/\sqrt{5} \\ 1/\sqrt{5} \end{pmatrix} dan dari λ = 1 dihasilkan vektor eigen \vec{e}_2 = \begin{pmatrix}1/\sqrt{5} \\ -2/\sqrt{5} \end{pmatrix}.

Menentukan komponen-komponen utama populasi:

Komponen utama pertama: Y_1 = \frac{2}{\sqrt{5}}X_1+\frac{1}{\sqrt{5}}X_2
Komponen utama kedua: Y_2 = \frac{1}{\sqrt{5}}X_1-\frac{2}{\sqrt{5}}X_2

Proporsi total variansi populasi yang dijelaskan komponen utama pertama:
\% Var(Y_1) = \frac{6}{6+1} \cdot 100 \% \approx 85,71 \%

 

Soal 2
Konversikan matriks kovariansi pada Soal 1 menjadi matriks korelasi ρ.

  1. Tentukan komponen-komponen utama Y1 dan Y2 dari ρ dan hitunglah proporsi total variansi populasi yang dijelaskan Y1.
  2. Bandingkan komponen yang dihitung pada bagian a dengan yang diperoleh pada Soal 1. Apakah sama? Apakah memang seharusnya sama?
  3. Hitunglah korelasi-korelasi \rho_{Y_1,Z_1}, \rho_{Y_1,Z_2}, dan \rho_{Y_2,Z_1}.

 

Jawab
Matriks korelasi dari Σ adalah:

Menentukan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen:

Vektor eigen yang dihasilkan dari λ1 adalah \vec{e}_1 = \begin{pmatrix}1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{pmatrix} sedangkan yang dihasilkan λ2 adalah \vec{e}_2 = \begin{pmatrix}-1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}.

Komponen utama pertama: Y_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}X_1+\frac{1}{\sqrt{2}}X_2

Komponen utama kedua: Y_2 = \frac{-1}{\sqrt{2}}X_1+\frac{1}{\sqrt{2}}X_2

Proporsi total variansi populasi yang dijelaskan komponen utama pertama:

Komponen-komponen yang dihasilkan dari Σ dan dari ρ berbeda. Pada umumnya memang kedua matriks itu memberikan nilai-nilai dan vektor-vektor eigen yang berbeda.

Menentukan korelasi-korelasi \rho_{Y_1,Z_1}, \rho_{Y_1,Z_2}, dan \rho_{Y_2,Z_1} :

Rumus yang digunakan untuk menghitung korelasi antara komponen Yi dengan variabel asal Xk adalah \rho_{Y_i,X_k}=\frac{e_{ik} \sqrt{\lambda_i}}{\sqrt{\sigma_{kk}}} (lihat Dalil 3 pada link berikut: http://edscyclopedia.com/komponen-utama-populasi-population-principal-components/). Namun karena yang digunakan sebagai dasar penentuan komponen utama adalah matriks korelasi, σ11 = σ22 = 1 sehingga dalam hal ini berlaku \rho_{Y_i,Z_k}= e_{ik} \sqrt{\lambda_i}.

 

Soal 3

Misalkan \Sigma = \begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}. Tentukan komponen-komponen utama Y1, Y2, Y3. Kesimpulan apa yang dapat diberikan mengenai komponen-komponen utama yang terbentuk dari nilai-nilai eigen yang sama?

 

Jawab
Persamaan karakteristik dari Σ adalah (λ-2)(λ-4)2 = 0 dan ini menghasilkan nilai-nilai eigen λ1 = λ2 = 4 dan λ3 = 2.

Vektor eigen yang dihasilkan dari λ3 = 2 adalah \vec{e}_3 = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. Ruang eigen yang dihasilkan dari λ1 = λ2 = 4 memiliki vektor-vektor \vec{e}_1 = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} dan \vec{e}_2 = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} sebagai basisnya.

Dari hasil-hasil ini diperoleh komponen-komponen utama sebagai berikut.
Y1 = X2
Y2 = X3
Y3 = X1

Berikut ini akan ditunjukkan bahwa komponen-komponen utama tersebut tidak tunggal.
Perhatikan bahwa \vec{u}_1 = \begin{pmatrix}0 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} dan \vec{u}_2 = \begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} adalah dua vektor yang saling bebas dalam E1, sehingga keduanya membentuk basis juga bagi E1. Dengan proses Gram-Schmidt dapat ditentukan basis ortonormal \vec{v}_1 dan \vec{v}_2 sebagai berikut.

Dari \vec{v}_1, \vec{v}_2, dan \vec{e}_3 diperolehlah komponen-komponen utama yang berbeda dari sebelumnya, yaitu:

Y_1 = \frac{3}{\sqrt{13}} X_2 + \frac{2}{\sqrt{13}} X_3

Y_2 = \frac{-2}{\sqrt{13}} X_2 + \frac{3}{\sqrt{13}} X_3

Y_3 = X_1

Perhatikan bahwa selain pasangan \vec{v}_1 dan \vec{v}_2 masih terdapat tak berhingga pasangan vektor basis yang lain bagi E1 dan basis-basis lain tersebut akan membentuk komponen-komponen utama yang lain pula. Sebagai kesimpulan, jika terdapat nilai eigen yang sama maka komponen-komponen utama yang berkaitan nilai eigen tersebut tidak tunggal.

 

Soal 4
Tentukan komponen-komponen utama dan proporsi total variansi populasi yang dijelaskan masing-masing komponen jika matriks kovariansinya adalah:

dengan - \frac{1}{\sqrt{2}} < \rho < \frac{1}{\sqrt{2}}.

 

Jawab

Persamaan karakteristik yang terbentuk dari Σ adalah:

Penggunaan rumus abc untuk persamaan kuadrat dalam λ menghasilkan \lambda = {\sigma}^2 (1+\rho \sqrt{2}) atau \lambda = {\sigma}^2 (1- \rho \sqrt{2}), sehingga Σ menghasilkan tiga buah nilai eigen yang berbeda λ1, λ2 dan λ3, dengan \lambda_{1} = {\sigma}^2 (1+\rho \sqrt{2}), \lambda_{2} = {\sigma}^2, dan \lambda_{3} = {\sigma}^2 (1-\rho \sqrt{2}).

Selanjutnya dapat dibuktikan bahwa λ1 menghasilkan \vec{e}_1 = \begin{pmatrix}1/2 \\ 1/ \sqrt{2} \\ 1/2 \end{pmatrix},  λ2 menghasilkan \vec{e}_2 = \begin{pmatrix}-1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}, dan λ3 menghasilkan \vec{e}_3 = \begin{pmatrix}1/2 \\ -1/ \sqrt{2} \\ 1/2 \end{pmatrix}.

Komponen-komponen utama yang dihasilkan Σ adalah:

Proporsi total variansi populasi yang dijelaskan masing-masing komponen adalah:

 

Soal 5
Tentukan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen dari matriks korelasi \rho= \begin{pmatrix}1 & \rho & \rho \\ \rho & 1 & \rho \\ \rho & \rho & 1 \end{pmatrix}. Tentukan komponen-komponen utamanya.

 

Jawab
Persamaan karakteristik yang terbentuk dari ρ adalah (λ-1-2ρ)(λ-1+ρ)2 = 0. Ini menghasikan nilai-nilai eigen λ1 = 1 + 2ρ dan λ2 = λ3 = 1 – ρ.

Dari λ1 = 1 + 2ρ diperoleh vektor eigen \vec{e}_1 = \begin{pmatrix}1/\sqrt{3} \\ 1/ \sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \end{pmatrix}.

Dari λ2 = λ3 = 1 – ρ diperoleh vektor-vektor eigen \vec{e}_2 = \begin{pmatrix}1/\sqrt{2} \\ -1/ \sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix} dan \vec{e}_3 = \begin{pmatrix}1/\sqrt{6} \\ 1/ \sqrt{6} \\ -2/\sqrt{6} \end{pmatrix}.

 

Catatan Penyerta Soal 5

Jika ρ adalah matriks korelasi berordo p dengan \rho_{ij}= \begin{Bmatrix} \rho \: ; \: i \neq j \\ 1 \:  ; \: i = j \end{matrix}  (i, j = 1, 2, 3, …, p) maka ρ memiliki dua kelompok pasangan nilai eigen – vektor eigen, yaitu sebagai berikut.

Kelompok I

Nilai eigen λ1 = 1 + (p – 1)ρ

Vektor eigen:

Kelompok II

(p-1) nilai eigen sisanya adalah λ2 = λ3 = … = λp = 1 – ρ.

Salah satu kemungkinan bagi vektor-vektor eigen-nya adalah:

 

Tagging: ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *