Di post saya sebelumnya telah diuraikan beberapa jenis integral fungsi trigonometri dan teknik penyelesaiannya. Kali ini akan diuraikan tiga teknik lagi yang dapat dicoba.
Jenis IV
∫ sinm x cosn x dengan m dan n keduanya genap positif.
Untuk kasus seperti ini, terapkan [pmath]{sin}^2 x={1-cos{2x}}/2[/pmath] dan [pmath]{cos}^2 x={1+cos{2x}}/2[/pmath]. Dengan substitusi ini, pangkat dari sin x dan cos x dalam integran akan berkurang.
Dapat ditunjukkan bahwa [pmath]int{ }{ }{{cos}^3 2x~dx}=1/2 sin{2x}-1/6 {sin}^3 2x+C[/pmath] dan [pmath]int{ }{ }{{cos}^2 2x~dx}=int{ }{ }{{1+cos{4x}}/2dx}=x/2+1/8 sin{4x}+C[/pmath]. [Lihat kembali materi sebelumnya, yaitu Teknik Integrasi Fungsi Trigonometri (1)].
Bentuk ∫sin mx cos nx dx, ∫sin mx sin nx dx, atau ∫cos mx cos nx dx
Untuk menyelesaikan integral berbentuk ∫sin mx cos nx dx, gunakan identitas trigonometri [pmath]sin{A}cos{B}={sin(A+B)+sin(A-B)}/2[/pmath] sehingga integran yang semula merupakan hasil kali kedua fungsi trigonometri sekarang merupakan penjumlahan dua fungsi trigonometri. Serupa dengan itu, integral berbentuk ∫sin mx sin nx dx diselesaikan dengan identitas trigonometri [pmath]sin{A}sin{B}={cos(A+B)-cos(A-B)}/{-2}[/pmath] dan integral berbentuk ∫cos mx cos nx dx diselesaikan dengan [pmath]cos{A}cos{B}={cos(A+B)+cos(A-B)}/2[/pmath].
Bentuk ∫tanm x secn x dx dengan m bilangan ganjil dapat diselesaikan dengan pemfaktoran sec x.tan x dan menggunakan identitas trigonometri tan2 x = sec2 x – 1.
Kadang kita menemui suatu kebuntuan ketika berusaha menyelesaikan suatu integral tak tentu yang integrand-nya memuat suatu fungsi trigonometri. Di antara sekian banyak teknik menyelesaikan integral tak tentu, ada suatu teknik substitusi yang bisa dicoba, yaitu dengan substitusi u = tan (x/2). Dengan substitusi ini, berlaku:
TEKNIK INTEGRASI FUNGSI TRIGONOMETRI (2)
Di post saya sebelumnya telah diuraikan beberapa jenis integral fungsi trigonometri dan teknik penyelesaiannya. Kali ini akan diuraikan tiga teknik lagi yang dapat dicoba.
Jenis IV
∫ sinm x cosn x dengan m dan n keduanya genap positif.
Untuk kasus seperti ini, terapkan [pmath]{sin}^2 x={1-cos{2x}}/2[/pmath] dan [pmath]{cos}^2 x={1+cos{2x}}/2[/pmath]. Dengan substitusi ini, pangkat dari sin x dan cos x dalam integran akan berkurang.
Contoh:
[pmath]int{ }{ }{{sin}^4 x.{cos}^2 x~dx}=int{ }{ }{({sin}^2 x)^2.{cos}^2 x~dx}=int{ }{ }{({1-cos{2x}}/2)^2 ({1+cos{2x}}/2)dx}[/pmath]
[pmath]int{ }{ }{{sin}^4 x.{cos}^2 x~dx}=1/8 int{ }{ }{({cos}^3 2x-{cos}^2 2x-cos{2x}+1)~dx}[/pmath]
Dapat ditunjukkan bahwa [pmath]int{ }{ }{{cos}^3 2x~dx}=1/2 sin{2x}-1/6 {sin}^3 2x+C[/pmath] dan [pmath]int{ }{ }{{cos}^2 2x~dx}=int{ }{ }{{1+cos{4x}}/2dx}=x/2+1/8 sin{4x}+C[/pmath]. [Lihat kembali materi sebelumnya, yaitu Teknik Integrasi Fungsi Trigonometri (1)].
Selanjutnya diperoleh:
[pmath]int{ }{ }{{sin}^4 x.{cos}^2 x~dx}=1/8 delim{[}{(1/2 sin{2x}-1/6 {sin}^3 2x)-(x/2+1/8 sin{4x})-1/2 sin{2x}+x}{]}+K[/pmath]
[pmath]int{ }{ }{{sin}^4 x.{cos}^2 x~dx}=-1/48 {sin}^3 2x-1/64 sin{4x}+x/16+K[/pmath]
Jenis V
Bentuk ∫sin mx cos nx dx, ∫sin mx sin nx dx, atau ∫cos mx cos nx dx
Untuk menyelesaikan integral berbentuk ∫sin mx cos nx dx, gunakan identitas trigonometri [pmath]sin{A}cos{B}={sin(A+B)+sin(A-B)}/2[/pmath] sehingga integran yang semula merupakan hasil kali kedua fungsi trigonometri sekarang merupakan penjumlahan dua fungsi trigonometri. Serupa dengan itu, integral berbentuk ∫sin mx sin nx dx diselesaikan dengan identitas trigonometri [pmath]sin{A}sin{B}={cos(A+B)-cos(A-B)}/{-2}[/pmath] dan integral berbentuk ∫cos mx cos nx dx diselesaikan dengan [pmath]cos{A}cos{B}={cos(A+B)+cos(A-B)}/2[/pmath].
Contoh:
[pmath]int{ }{ }{cos{3x}cos{7x}~dx}=int{ }{ }{{cos{10x}+cos(-4x)}/2 dx}=int{ }{ }{{cos{10x}+cos{4x}}/2 dx}[/pmath]
[pmath]int{ }{ }{cos{3x}cos{7x}~dx}=1/20 sin{10x}+1/8 sin{4x}+C[/pmath]
Jenis VI
Bentuk ∫tanm x secn x dx dengan n bilangan genap dapat diselesaikan dengan identitas trigonometri sec2 x = 1 + tan2 x.
Contoh:
[pmath]int{ }{ }{{tan}^{-3} x~{sec}^4 x~dx}=int{ }{ }{{tan}^{-3} x(1+{tan}^2 x){sec}^2 x~dx}=int{ }{ }{({tan}^{-3} x+(tan{x})^{-1}){sec}^2 x~dx}[/pmath]
[pmath]int{ }{ }{{tan}^{-3} x~{sec}^4 x~dx}=int{ }{ }{{tan}^{-3}x~{sec}^2 x~dx}+int{ }{ }{(tan{x})^{-1}{sec}^2 x~dx}={-1}/2 {tan}^{-2} x+ln delim{|}{tan{x}}{|}+C[/pmath]
Jadi, [pmath]int{ }{ }{{tan}^{-3} x~{sec}^4 x~dx}= {-1}/2 {tan}^{-2} x+ln delim{|}{tan{x}}{|}+C[/pmath]
Jenis VI
Bentuk ∫tanm x secn x dx dengan m bilangan ganjil dapat diselesaikan dengan pemfaktoran sec x.tan x dan menggunakan identitas trigonometri tan2 x = sec2 x – 1.
Contoh:
[pmath]int{ }{ }{{tan}^3 x~{sec}^{-1/2} x~dx}=int{ }{ }{({tan}^2 x~{sec}^{-3/2}x)sec{x} tan{x}~dx}=int{ }{ }{delim{[}{({sec}^2 x-1){sec}^{-3/2} x}{]}sec{x} tan{x}~dx}[/pmath]
[pmath]int{ }{ }{{tan}^3 x~{sec}^{-1/2} x~dx}=int{ }{ }{{sec}^{1/2}x(sec{x}tan{x}~dx)}-int{ }{ }{{sec}^{-3/2}x(sec{x}tan{x}~dx)} [/pmath]
[pmath]int{ }{ }{{tan}^3 x~{sec}^{-1/2} x~dx}=2/3 {sec}^{3/2} x+2 {sec}^{-1/2} x+C[/pmath]
Kadang kita menemui suatu kebuntuan ketika berusaha menyelesaikan suatu integral tak tentu yang integrand-nya memuat suatu fungsi trigonometri. Di antara sekian banyak teknik menyelesaikan integral tak tentu, ada suatu teknik substitusi yang bisa dicoba, yaitu dengan substitusi u = tan (x/2). Dengan substitusi ini, berlaku:
[pmath]dx={2 du}/{1+u^2}[/pmath]
[pmath]sin{x}={2u}/{1+u^2}[/pmath]
[pmath]cos{x}={1-u^2}/{1+u^2}[/pmath]
[pmath]tan{x}={2u}/{1-u^2}[/pmath]
Contoh 1
[pmath]int{ }{ }{{dx}/{1+sin{x}}}=int{ }{ }{1/{1+{2u}/{1+u^2}}~.~{2~du}/{1+u^2}}=int{ }{ }{{2~du}/{(u+1)^2}}=-2(u+1)^{-1}+C[/pmath]
Substitusikan kembali u = tan (x/2) ke hasil terakhir di atas, diperoleh:
[pmath]int{ }{ }{{dx}/{1+sin{x}}}={-2}/{1+tan{x/2}}+C[/pmath]
Contoh 2
[pmath]int{ }{ }{{dx}/{1+sin{x}+cos{x}}}=int{ }{ }{1/{1+{2u}/{1+u^2}+{1-u^2}/{1+u^2}}~.~{2~du}/{1+u^2}}=int{ }{ }{{du}/{1+u}}=ln delim{|}{1+u}{|} +C[/pmath]
Substitusikan kembali u = tan (x/2) ke hasil terakhir di atas, diperoleh:
[pmath]int{ }{ }{{dx}/{1+sin{x}+cos{x}}}= ln delim{|}{1+tan{x/2}}{|} +C[/pmath]
Berikut ini adalah tautan-tautan yang berhubungan dengan posting kali ini:
Bagikan ini:
Most visitors also read :
BERKENALAN DENGAN NILAI DAN VEKTOR EIGEN
DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SINGULAR VALUE DECOMPOSITION)
MATRIKS AKAR KUADRAT
SOAL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA