Sebuah mayat ditemukan, tampaknya ia korban pembunuhan. Sepertinya tidak ada orang yang mengetahui jam berapa orang ini meninggal. Namun mengapa ahli forensik bisa memperkirakan kapan ia meninggal? Dengan memeriksa perubahan suhu pada mayat!
Menurut hukum pendinginan Newton, laju pendinginan suatu objek sebanding dengan selisih suhu antara objek tersebut dengan lingkungan, apabila selisih ini tidak terlalu besar. Dengan suatu teknik penyelesaian persamaan diferensial sederhana, diperoleh suatu hubungan antara selang waktu t sejak korban meninggal dengan T(t), yaitu suhu pada saat t satuan waktu sejak ia meninggal. Antara t dan T(t) terdapat hubungan sebagai berikut: T(t) = Ta + (T0 – Ta)e-kt. Dalam bahasa matematika, dikatakan bahwa suhu mayat t satuan waktu sejak waktu meninggalnya orang itu merupakan fungsi dari t, yaitu lamanya waktu sejak orang itu meninggal.
Apakah pengertian fungsi dalam matematika? Bagi sebagian orang, barangkali fungsi agak sukar dibayangkan, padahal seperti halnya relasi, fungsi banyak ditemui dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu contohnya adalah misalnya ketika kita menggunakan remote pesawat televisi. Remote tersebut digunakan misalnya untuk mengganti channel yang akan ditonton. Ketika Anda menekan satu atau beberapa tombol angka, pesawat TV Anda akan terhubung dengan satu channel tertentu (tidak terhubung sekaligus ke dua atau lebih channel). Ketika Anda menekan satu atau beberapa tombol lain, pesawat TV Anda akan terhubung ke satu channel yang lain, atau bisa juga ke channel yang sama. Nanti akan Anda pelajari bahwa ini adalah salah satu ciri fungsi dalam matematika.
Contoh lain misalnya ketika Anda menimbang buah-buahan yang akan Anda beli. Ketika sejumlah buah-buahan ditimbang, timbangan akan menunjukkan hasil pengukuran tertentu. Ketika buah-buahan lain dengan sejumlah tertentu ditimbang, timbangan tersebut akan menunjukkan hasil pengukuran terhadap beban yang baru ini; hasil pengukuran yang baru ini bisa sama atau bisa juga berbeda dengan hasil pengukuran sebelumnya. Ini adalah salah satu ciri fungsi dalam matematika.
Kalau begitu, apa pengertian fungsi dalam matematika? Mari kita mulai.
Definisi
Misalkan A dan B masing-masing himpunan dan f ⊆ AxB. f dikatakan suatu fungsi dari A ke B apabila berlaku kedua hal berikut: i) ∀a ∊ A ∃b ∊ B ⋺(a,b) ∊ f dan ii) (a,b) ∊ f dan (a,b’) ∊ f ⇒ b = b’. Dengan kata lain, f merupakan suatu fungsi dari A ke B apabila setiap anggota A berpasangan dengan satu dan hanya satu anggota B. A dinamakan daerah asal/domain dari f, ditulis Df = A; B dinamakan daerah |kawan/co-domain dari B, ditulis Codf = B. Himpunan semua anggota B yang memiliki pasangan di A dinamakan jelajah/range dari f, dilambangkan dengan Rfatau f(A). Jadi, Rf = f(A) = {b ∊ B| ∃a ∊ A ⋺(a,b) ∊ f}. Jika (x,y) ∊ f maka y dinamakan peta dari x oleh f, ditulis y = f(x).
Contoh 1: (remote TV)
Misalkan A adalah himpunan nomor kode channel TV dan B adalah himpunan nama stasiun. Misalkan A = {148, 132, 424, 108, 205, 460}, B = {TVRI, SCTV, RCTI, HBO, FOX, NET, AXN, Indosiar} dan g = {(148,RCTI), (132,AXN), (424,NET), (108,HBO), (205,AXN), (460,SCTV)}. g merupakan suatu contoh fungsi dari A ke B karena setiap anggota A memiliki satu dan hanya satu pasangan di B. Dg = A, Codg = B. Jelajah dari A adalah g(A) = {RCTI, AXN, NET, HBO, SCTV}. Karena (148,RCTI) ∊ g, kita dapat menyatakan g(148) = RCTI. Ini berarti bahwa apabila kita menggunakan remote tersebut dan menekan tombol-tombol 148 maka kita akan terhubung dengan stasiun TV RCTI. Dalam hal ini, RCTI merupakan peta dari 148 oleh g. Perhatikan bahwa g(132) = AXN dan juga g(205) = AXN. Ini menunjukkan penyetelan remote tersebut memberikan dua kemungkinan nomor kode bagi stasiun TV AXN. Baik penekanan tombol-tombol 132 maupun 205 keduanya menghubungkan kita ke AXN.
Contoh 2:
Misalkan K = {x ∊ℕ| x < 5} dan L = { y ∊ℕ| y < 10}. f adalah suatu fungsi dari K ke L dengan f(x) = x+3 untuk setiap x ∊ K. a) Nyatakan f dengan memerinci satu demi satu semua anggotanya, b) tentukan f(2) dan f(3), c) tentukan range dari f.
Jawab:
K = {1, 2, 3, 4}
Hitunglah f(x) untuk setiap anggota K, dengan aturan fungsi f(x) = x+3 sehingga diperoleh:
Misalkan U = {0, 1, 4, 9}, V = {-2, 0, 1, 2, 3}, dan j = {(x,y) ∊ UxV|x = y2}. Apakah j suatu fungsi dari U ke V?
Jawab:
Perhatikan bahwa j = {(0,0), (1,1), (4,-2), (4,2), (9,3)}. Ada anggota U (yaitu 4) yang memiliki lebih dari satu pasangan di V. (4 berpasangan dengan -2 dan 2.) Jadi j bukan fungsi dari U ke V.
Pada gambar di atas, perhatikan ada suatu percabangan dari 4 ∊ Dj. Percabangan yang berawal dari suatu anggota daerah asal tidak diperkenankan dalam suatu fungsi.
Kesamaan Dua Fungsi
Dua fungsi f dan g dikatakan sama, ditulis f = g, apabila Df = Dg = D dan untuk setiap x ∊ D f(x) = g(x).
Contoh 5: (Dua Fungsi yang Sama)
Misalkan A = {0, 1}, B = {0, 1, 2, 3}, dan C = {-1, 0, 1}.
Misalkan f suatu fungsi dari A ke B dengan f(x) = x2 untuk setiap x ∊ A dan g suatu fungsi dari A ke C dengan g(x) = x3 untuk setiap x ∊ A. Apakah f = g?
Jawab:
Perhatikan bahwa Df = Dg = A. Kedua fungsi itu memiliki daerah asal yang sama.
f(0) = 02 = 0 dan f(1) = 12 = 1
g(0) = 03 = 0 dan g(1) = 13 = 1
Ternyata untuk setiap x ∊ A berlaku f(x) = g(x). Karena itu f = g
Contoh 6: (Dua Fungsi yang Tidak Sama)
Misalkan A = {0, 1}, B = {0, 1, 2, 3}, dan C = {1, 2, 3, 4, 5}
Diketahui fungsi f dari A ke C dengan f(x) = x + 2 untuk setiap x ∊ A dan fungsi g dari B ke C dengan g(x) = x + 2. Apakah f = g?
Walaupun f(x) = g(x) = x + 2, f tidak sama dengan g. Penyebabnya adalah daerah asal kedua fungsi tidak sama. Df = {0, 1} sedangkan Dg = {0, 1, 2, 3}. Jadi, f ≠ g.
Berikut ini adalah tautan-tautan yang berhubungan dengan fungsi.
KAPAN WAKTU MENINGGAL KORBAN?
Sebuah mayat ditemukan, tampaknya ia korban pembunuhan. Sepertinya tidak ada orang yang mengetahui jam berapa orang ini meninggal. Namun mengapa ahli forensik bisa memperkirakan kapan ia meninggal? Dengan memeriksa perubahan suhu pada mayat!
Menurut hukum pendinginan Newton, laju pendinginan suatu objek sebanding dengan selisih suhu antara objek tersebut dengan lingkungan, apabila selisih ini tidak terlalu besar. Dengan suatu teknik penyelesaian persamaan diferensial sederhana, diperoleh suatu hubungan antara selang waktu t sejak korban meninggal dengan T(t), yaitu suhu pada saat t satuan waktu sejak ia meninggal. Antara t dan T(t) terdapat hubungan sebagai berikut: T(t) = Ta + (T0 – Ta)e-kt. Dalam bahasa matematika, dikatakan bahwa suhu mayat t satuan waktu sejak waktu meninggalnya orang itu merupakan fungsi dari t, yaitu lamanya waktu sejak orang itu meninggal.
Apakah pengertian fungsi dalam matematika? Bagi sebagian orang, barangkali fungsi agak sukar dibayangkan, padahal seperti halnya relasi, fungsi banyak ditemui dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu contohnya adalah misalnya ketika kita menggunakan remote pesawat televisi. Remote tersebut digunakan misalnya untuk mengganti channel yang akan ditonton. Ketika Anda menekan satu atau beberapa tombol angka, pesawat TV Anda akan terhubung dengan satu channel tertentu (tidak terhubung sekaligus ke dua atau lebih channel). Ketika Anda menekan satu atau beberapa tombol lain, pesawat TV Anda akan terhubung ke satu channel yang lain, atau bisa juga ke channel yang sama. Nanti akan Anda pelajari bahwa ini adalah salah satu ciri fungsi dalam matematika.
Contoh lain misalnya ketika Anda menimbang buah-buahan yang akan Anda beli. Ketika sejumlah buah-buahan ditimbang, timbangan akan menunjukkan hasil pengukuran tertentu. Ketika buah-buahan lain dengan sejumlah tertentu ditimbang, timbangan tersebut akan menunjukkan hasil pengukuran terhadap beban yang baru ini; hasil pengukuran yang baru ini bisa sama atau bisa juga berbeda dengan hasil pengukuran sebelumnya. Ini adalah salah satu ciri fungsi dalam matematika.
Kalau begitu, apa pengertian fungsi dalam matematika? Mari kita mulai.
Definisi
Misalkan A dan B masing-masing himpunan dan f ⊆ AxB. f dikatakan suatu fungsi dari A ke B apabila berlaku kedua hal berikut: i) ∀a ∊ A ∃b ∊ B ⋺(a,b) ∊ f dan ii) (a,b) ∊ f dan (a,b’) ∊ f ⇒ b = b’. Dengan kata lain, f merupakan suatu fungsi dari A ke B apabila setiap anggota A berpasangan dengan satu dan hanya satu anggota B. A dinamakan daerah asal/domain dari f, ditulis Df = A; B dinamakan daerah |kawan/co-domain dari B, ditulis Codf = B. Himpunan semua anggota B yang memiliki pasangan di A dinamakan jelajah/range dari f, dilambangkan dengan Rf atau f(A). Jadi, Rf = f(A) = {b ∊ B| ∃a ∊ A ⋺(a,b) ∊ f}. Jika (x,y) ∊ f maka y dinamakan peta dari x oleh f, ditulis y = f(x).
Contoh 1: (remote TV)
Misalkan A adalah himpunan nomor kode channel TV dan B adalah himpunan nama stasiun. Misalkan A = {148, 132, 424, 108, 205, 460}, B = {TVRI, SCTV, RCTI, HBO, FOX, NET, AXN, Indosiar} dan g = {(148,RCTI), (132,AXN), (424,NET), (108,HBO), (205,AXN), (460,SCTV)}. g merupakan suatu contoh fungsi dari A ke B karena setiap anggota A memiliki satu dan hanya satu pasangan di B. Dg = A, Codg = B. Jelajah dari A adalah g(A) = {RCTI, AXN, NET, HBO, SCTV}. Karena (148,RCTI) ∊ g, kita dapat menyatakan g(148) = RCTI. Ini berarti bahwa apabila kita menggunakan remote tersebut dan menekan tombol-tombol 148 maka kita akan terhubung dengan stasiun TV RCTI. Dalam hal ini, RCTI merupakan peta dari 148 oleh g. Perhatikan bahwa g(132) = AXN dan juga g(205) = AXN. Ini menunjukkan penyetelan remote tersebut memberikan dua kemungkinan nomor kode bagi stasiun TV AXN. Baik penekanan tombol-tombol 132 maupun 205 keduanya menghubungkan kita ke AXN.
Contoh 2:
Misalkan K = {x ∊ℕ| x < 5} dan L = { y ∊ℕ| y < 10}. f adalah suatu fungsi dari K ke L dengan f(x) = x+3 untuk setiap x ∊ K. a) Nyatakan f dengan memerinci satu demi satu semua anggotanya, b) tentukan f(2) dan f(3), c) tentukan range dari f.
Jawab:
K = {1, 2, 3, 4}
Hitunglah f(x) untuk setiap anggota K, dengan aturan fungsi f(x) = x+3 sehingga diperoleh:
f(1) = 1+3 = 4
f(2) = 2+3 = 5 [Ini jawaban pertanyaan b]
f(3) = 3+3 = 6 [Ini jawaban pertanyaan b]
f(4) = 4+3 = 7
Jadi, f = {(1,4), (2,5), (3,6), (4,7)} [Ini jawaban pertanyaan a]
Range dari f adalah Rf = {4, 5, 6, 7}
Contoh 3:
Misalkan C = {y ∊ℤ |-2≤ y ≤2} dan D = { x ∊ ℤ | 0 ≤ x < 6}. h adalah suatu fungsi dari C ke D dengan h(y) = y2 untuk setiap y ∊ C. Tentukanlah h(C)!
Jawab:
Soal ini menanyakan range dari h sehingga kita hitung h(y) = y2 untuk setiap y ∊ C.
C = {-2, -1, 0, 1, 2}
h(-2) = (-2)2 = 4, h(-1) = (-1)2 = 1, h(0) = 02 = 0, h(1) = 12 = 1, h(2) = 22 = 4
Jadi, h(C) = {0, 1, 4}
Contoh 4
Misalkan U = {0, 1, 4, 9}, V = {-2, 0, 1, 2, 3}, dan j = {(x,y) ∊ UxV|x = y2}. Apakah j suatu fungsi dari U ke V?
Jawab:
Perhatikan bahwa j = {(0,0), (1,1), (4,-2), (4,2), (9,3)}. Ada anggota U (yaitu 4) yang memiliki lebih dari satu pasangan di V. (4 berpasangan dengan -2 dan 2.) Jadi j bukan fungsi dari U ke V.
Pada gambar di atas, perhatikan ada suatu percabangan dari 4 ∊ Dj. Percabangan yang berawal dari suatu anggota daerah asal tidak diperkenankan dalam suatu fungsi.
Kesamaan Dua Fungsi
Dua fungsi f dan g dikatakan sama, ditulis f = g, apabila Df = Dg = D dan untuk setiap x ∊ D f(x) = g(x).
Contoh 5: (Dua Fungsi yang Sama)
Misalkan A = {0, 1}, B = {0, 1, 2, 3}, dan C = {-1, 0, 1}.
Misalkan f suatu fungsi dari A ke B dengan f(x) = x2 untuk setiap x ∊ A dan g suatu fungsi dari A ke C dengan g(x) = x3 untuk setiap x ∊ A. Apakah f = g?
Jawab:
Perhatikan bahwa Df = Dg = A. Kedua fungsi itu memiliki daerah asal yang sama.
f(0) = 02 = 0 dan f(1) = 12 = 1
g(0) = 03 = 0 dan g(1) = 13 = 1
Ternyata untuk setiap x ∊ A berlaku f(x) = g(x). Karena itu f = g
Contoh 6: (Dua Fungsi yang Tidak Sama)
Misalkan A = {0, 1}, B = {0, 1, 2, 3}, dan C = {1, 2, 3, 4, 5}
Diketahui fungsi f dari A ke C dengan f(x) = x + 2 untuk setiap x ∊ A dan fungsi g dari B ke C dengan g(x) = x + 2. Apakah f = g?
Walaupun f(x) = g(x) = x + 2, f tidak sama dengan g. Penyebabnya adalah daerah asal kedua fungsi tidak sama. Df = {0, 1} sedangkan Dg = {0, 1, 2, 3}. Jadi, f ≠ g.
Berikut ini adalah tautan-tautan yang berhubungan dengan fungsi.
Bagikan ini:
Most visitors also read :
BERKENALAN DENGAN NILAI DAN VEKTOR EIGEN
DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SINGULAR VALUE DECOMPOSITION)
MATRIKS AKAR KUADRAT
SOAL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA