FUNGSI INVERS

November 23rd, 2016

bijeksi

 

Di post saya sebelumnya, saya telah memperkenalkan konsep bijeksi atau korespondensi satu-satu. Apa keistimewaan suatu bijeksi? Jika f suatu bijeksi dengan daerah asal A dan daerah kawan B maka terdapat suatu bijeksi f -1 dari B ke A, sedemikian hingga kondisi berikut berlaku:

f(a) = b jika dan hanya jika f -1(b) = a ……………………………………………………… (*)

untuk setiap a ∊ A dan untuk setiap b ∊ B.

Bijeksi f -1 yang memenuhi kondisi (*) dinamakan fungsi invers dari f.

 

Contoh 1

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, B = {0, -3, -1, 7}, dan f = {(1,-1), (2,0), (3,7), (4,-3)}.

Perhatikan bahwa f merupakan suatu bijeksi dengan daerah asal A dan daerah kawan B. Sekarang, f-1 mana yang memenuhi kondisi (*)?

Definisikan f-1 = {(0,2), (-3,4), (-1,1), (7,3)}. f-1 merupakan suatu bijeksi dengan daerah asal B dan daerah kawan A, dan kondisi (*) berlaku.

Untuk memeriksa kondisi (*) berlaku, perhatikan hal-hal berikut.

f(1) = -1 dan f-1(-1) = 1

f(2) = 0 dan f-1(0) = 2

f(3) = 7 dan f-1(7) = 3

f(4) = -3 dan f-1(-3) = 4

Jadi, f-1 yang didefinisikan dengan cara di atas merupakan fungsi invers dari f.
Seperti halnya yang dapat dilihat pada Contoh 1, jika f merupakan suatu bijeksi dari A ke B maka untuk setiap b ∊ B f-1(b) merupakan prapeta dari b. Jadi, berlaku f(f-1(b)) = b.

Dalil

Misalkan f: A → B suatu bijeksi dan f -1: B → A merupakan fungsi invers dari f.

Maka untuk setiap x ∊ B berlaku f(f-1(x)) = x.

 

Dalil tersebut dapat digunakan untuk menentukan rumus aturan fungsi f-1.

 

Contoh 2

Diketahui f: ℝ → ℝ yang didefinisikan sebagai f(x) = 3x – 2. Jika f-1 adalah fungsi invers dari f, tentukan aturan fungsi f-1.

 

Jawab:

Dapat dibuktikan bahwa f suatu bijeksi dari ℝ ke ℝ. Karena f suatu bijeksi dari ℝ ke ℝ, terdapat suatu bijeksi f-1 dari ℝ ke ℝ. Dari dalil di atas diperoleh f(f-1(x)) = x untuk setiap x ∊ ℝ. Jadi, kita substitusikan f-1(x) ke dalam x pada aturan fungsi f, diperoleh:

3f-1(x) – 2 = x

3f-1(x) = x + 2

f^{-1} (x) ~=~ {x ~+~ 2}/3

 

Contoh 3

Diketahui g: ℝ → ℝ yang didefinisikan sebagai g(x) = x3 – 5. Jika g-1 adalah fungsi invers dari g, tentukan aturan fungsi g-1.

 

Jawab:

Dapat dibuktikan bahwa g suatu bijeksi dari ℝ ke ℝ. Karena g suatu bijeksi dari ℝ ke ℝ, terdapat suatu bijeksi g-1 dari ℝ ke ℝ. Dari dalil di atas diperoleh g(g-1(x)) = x untuk setiap x ∊ ℝ. Jadi, kita substitusikan g-1(x) ke dalam x pada aturan fungsi g, diperoleh:

(g^{-1} (x))^3 ~-~ 5 ~=~ x

(g^{-1} (x))^3 ~=~ x ~+~ 5

g^{-1} (x) ~=~ root{3}{x ~+~ 5}

 

Contoh 4

Misalkan A = ℝ\{1} dan k: A → A yang didefinisikan sebagai k(x) ~=~ {x ~+~ 1}/{x ~-~ 1}. Buktikan bahwa k = k -1.

 

Jawab:

(Contoh ini sekaligus mengingatkan kembali mengenai kesamaan dua fungsi, yang pernah saya bahas di post saya sebelumnya.)

Perhatikan bahwa k dan k -1 memiliki daerah asal yang sama. Sekarang kita akan buktikan bahwa untuk setiap x ∊ A berlaku k(x) = k -1(x).

Dari dalil di atas, diperoleh: k(k -1(x)) = x.

Selanjutnya, {k^{-1} (x) ~+~ 1}/{k^{-1} (x) ~-~ 1} ~=~ x

xk^{-1} (x) ~-~ x ~=~ k^{-1} (x) ~+~ 1

xk^{-1} (x) ~-~ k^{-1} (x) ~=~ x ~+~ 1

(x ~-~ 1)k^{-1} (x) ~=~ x ~+~ 1

k^{-1} (x) ~=~ {x ~+~ 1}/{x ~-~ 1}

k^{-1} (x) ~=~ k(x)

Telah diperoleh bahwa k dan k-1 memiliki domain yang sama (yaitu A) dan untuk setiap x ∊ A berlaku k-1(x) = k(x). Ini menunjukkan bahwa k = k-1.

 

 



Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *