FUNGSI SATU-SATU DAN FUNGSI SURJEKTIF

November 21st, 2016

bijeksi 

Di post saya sebelumnya, saya telah memperkenalkan konsep fungsi dari suatu himpunan ke himpunan lainnya. Kali ini saya akan menjelaskan fungsi satu-satu dan fungsi surjektif.

 

Fungsi Satu-Satu

Misalkan A dan B masing-masing himpunan dan f suatu fungsi dari A ke B. Fungsi f dikatakan fungsi satu-satu (one-one function) atau fungsi injektif (injective function) apabila berlaku:

f(a) = f(b) ⇒ a =b    …………………………………………….. (1)

Dengan bahasa yang lebih sederhana, (1) dapat dinyatakan sebagai setiap anggota daerah asal (domain) yang berbeda memiliki peta yang berbeda pula di daerah kawan (co-domain).

 

Contoh 1: (Bukan fungsi satu-satu)

Misalkan f: ℝ → ℝ yang didefinisikan sebagai f(x) = x2.

Perhatikan bahwa f(-5) = (-5)2 = 25 dan f(5) = 52 = 25.

Dalam hal ini, f(-5) = f(5), tetapi -5 ≠ 5.

Jadi, pada contoh ini kondisi (1) tidak dipenuhi, sehingga kita simpulkan f bukan fungsi satu-satu.

 

Contoh 2: (Fungsi satu-satu)

Misalkan g: ℝ → ℝ yang didefinisikan sebagai g(x) = x + 10

g merupakan fungsi satu-satu.

Untuk membuktikan ini, misalkan g(a) = g(b).

Akibatnya, a + 10 = b + 10.

Kurangi kedua ruas dengan 10, diperoleh a = b.

Pada contoh ini, g(a) = g(b) ⇒ a = b. Kondisi (1) dipenuhi, sehingga kita simpulkan g merupakan fungsi satu-satu.

 

Contoh 3: (bukan fungsi satu-satu)

Misalkan h: ℝ → ℝ yang didefinisikan sebagai h(x) = |x|.

Perhatikan bahwa h(3) = |3| = 3 dan h(-3) = |3| = 3.

Dalam hal ini, h(3) = h(-3) namun -3 ≠ 3.

Jadi, pada contoh ini kondisi (1) tidak dipenuhi, sehingga kita simpulkan h bukan fungsi satu-satu.

 

Contoh 4 (fungsi satu-satu)

Misalkan k: ℝ\{0} → ℝ yang didefinisikan sebagai k(x) ~=~ 1/x.

k merupakan fungsi satu-satu. Untuk membuktikan ini, kita misalkan k(a) = k (b).

Akibatnya, 1/a ~=~ 1/b

Kalikan kedua ruas dengan ab, diperoleh a = b.

Pada contoh ini, k(a) = k(b) ⇒ a = b. Kondisi (1) dipenuhi, sehingga kita simpulkan k merupakan fungsi satu-satu.

 

Fungsi Surjektif

Misalkan A dan B masing-masing himpunan dan f suatu fungsi dari A ke B. Fungsi f dikatakan fungsi surjektif (surjective function) atau fungsi pada (onto function) apabila berlaku:

b ∊ B ∃a ∊ A f(a) = b …………………………………………….. (2)

(2) dibaca sebagai berikut: untuk setiap b anggota B terdapat a yang merupakan anggota A sedemikian hingga f(a) = b. Dengan bahasa yang lebih sederhana, (2) dapat dinyatakan sebagai berikut: “Setiap anggota daerah kawan (co-domain) memiliki suatu pasangan yang merupakan anggota daerah asal.”

 

Contoh 5 (bukan fungsi surjektif)

Misalkan f: ℝ → ℝ yang didefinisikan sebagai f(x) = x2.

f bukan fungsi surjektif karena -3 ∊ ℝ (ℝ ini merupakan co-domain f) tetapi tidak ada anggota daerah asal a ∊ ℝ sedemikian hingga f(a) = a2 = -3. Jadi, pada kasus ini kondisi (2) tidak dipenuhi, sehingga kita simpulkan f bukan fungsi surjektif.

 

Contoh 6 (fungsi surjektif)

Misalkan g: ℝ → ℝ yang didefinisikan sebagai g(x) = x + 10

g merupakan fungsi surjektif karena setiap anggota daerah kawan, yaitu ℝ, memiliki pasangan yang merupakan anggota daerah asal (ℝ). Untuk membuktikan ini, kita misalkan b ∊ ℝ sembarang. Kita mencari anggota daerah asal a ∊ ℝ sedemikian hingga g(a) = b.

Selanjutnya, kita peroleh: a + 10 = b dan a = b – 10.

Karena b ∊ ℝ dan 10 ∊ ℝ, a = (b – 10) ∊ ℝ

Jadi, untuk setiap anggota daerah kawan b terdapat anggota daerah asal a sedemikian hingga g(a) = b. Karena kondisi (2) dipenuhi, kita simpulkan g fungsi surjektif.

 

Contoh 7 (bukan fungsi surjektif)

Misalkan k: ℝ\{0} → ℝ yang didefinisikan sebagai k(x) ~=~ 1/x.

k bukan fungsi surjektif karena terdapat anggota daerah kawan, yaitu 0, yang tidak memiliki pasangan yang merupakan anggota daerah asal. Tidak ada a ∊ ℝ\{0} sedemikian hingga k(a) = 1/a = 0.

 

Contoh 8 (fungsi surjektif)

Misalkan v: ℝ\{0} → ℝ\{0} yang didefinisikan sebagai v(x) ~=~ 1/x.

v merupakan fungsi surjektif karena setiap anggota daerah kawan, yaitu ℝ\{0}, memiliki pasangan yang merupakan anggota daerah asal (ℝ\{0}). Untuk membuktikan ini, kita misalkan b ∊ ℝ\{0} sembarang. Karena b ∊ ℝ\{0}, b ≠ 0. Kita mencari anggota daerah asal a ∊ ℝ\{0} sedemikian hingga v(a) = b. Jadi, kita mencari a ∊ ℝ\{0} sedemikian hingga v(a) = 1/a = b. Dalam hal ini, kita dapat memilih a = 1/b. Dengan mudah dapat diperiksa bahwa v(a) = b. Perhatikan bahwa 1/b ≠ 0 sehingga a ∊ ℝ\{0}. Jadi, untuk setiap anggota daerah kawan b terdapat anggota daerah asal a sedemikian hingga v(a) = b. Karena kondisi (2) dipenuhi, kita simpulkan v fungsi surjektif.

Tagging: , ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *