FUNGSI BIJEKTIF

November 22nd, 2016

Di post saya sebelumnya, saya telah memperkenalkan konsep fungsi injektif dan fungsi surjektif. Fungsi yang memenuhi kedua sifat ini dinamakan suatu bijeksi atau korespondensi satu-satu.

 

Definisi

Misalkan A dan B masing-masing himpunan dan f suatu fungsi dari A ke B. f dikatakan suatu bijeksi (dari A ke B) atau apabila f merupakan fungsi yang injektif dan surjektif.

 

Contoh 1: (bijeksi)

Misalkan f: ℝ → ℝ yang didefinisikan sebagai f(x) = 3x.

f suatu bijeksi dari ℝ ke ℝ.

Untuk membuktikan bahwa f injektif, misalkan f(a) = f(b). [Akan ditunjukkan bahwa ini mengakibatkan a = b.]

Karena f(a) = f(b), dari pendefinisian f(x) diperoleh 3a = 3b, sehingga a = b.

Jadi, f(a) = f(b) ⇒ a = b. Ini menunjukkan bahwa f injektif.

Untuk membuktikan bahwa f surjektif, misalkan b ∊ ℝ sembarang. [Akan dibuktikan bahwa terdapat anggota daerah asal, misalnya a, sedemikian hingga f(a) = b.]

Pilih a = b/3. Karena b ∊ ℝ dan 3 ∊ ℝ, a = b/3 ∊ ℝ (ℝ merupakan daerah asal f).

Kita telah membuktikan bahwa untuk setiap b ∊ ℝ (daerah kawan) terdapat a ∊ ℝ (daerah asal) sedemikian hingga f(a) = b. Jadi, f merupakan fungsi surjektif.

Karena f injektif dan surjektif, f merupakan suatu bijeksi.

 

Contoh 2: (bukan bijeksi)

Misalkan g: ℝ → ℝ yang didefinisikan sebagai g(x) = x2.

g bukan suatu bijeksi karena g bukan merupakan fungsi injektif/satu-satu.

Perhatikan bahwa g(-3) = (-3)2 = 9 dan g(3) = 32 = 9.

Dalam hal ini, g(-3) = g(3), tetapi -3 ≠ 3. Ini menunjukkan bahwa g tidak injektif.

Jadi g tidak mungkin merupakan suatu bijeksi.

 

Contoh 3: (bukan bijeksi)

Misalkan h: ℝ → ℝ yang didefinisikan sebagai h(x) = x2 + 1.

h bukan merupakan bijeksi karena h tidak surjektif.

h bukan fungsi surjektif karena 0 ∊ ℝ (ℝ ini merupakan co-domain h) tetapi tidak ada anggota daerah asal a ∊ ℝ sedemikian hingga h(a) = a2 + 1= 0. Jadi, tidak setiap anggota daerah kawan memiliki pasangan yang merupakan anggota daerah asal. Kita simpulkan h bukan fungsi surjektif.

 

Contoh 4: (bijeksi)

Misalkan ℝ+ = {x ∊ ℝ| x ≥ 0} dan k: ℝ+ → ℝ+ yang didefinisikan sebagai k(x) = √x.

k merupakan suatu bijeksi karena k injektif dan k surjektif.

Untuk membuktikan k injektif, misalkan k(a) = k(b). Akibatnya, √a = √b. Kuadratkan kedua ruas persamaan tersebut,diperoleh a = b. Jadi, k(a) = k(b) ⇒ a = b. Ini menunjukkan bahwa k injektif.

Untuk membuktikan k surjektif, misalkan b ∊ ℝ+ sembarang. Pilih a ∊ ℝ+ dengan a = b2. Akibatnya, k(a) ~=~ k(b^2) ~=~ sqrt{b^2} ~=~ b. Jadi, untuk setiap b ∊ ℝ+ (daerah kawan) terdapat a ∊ ℝ+ sedemikian hingga k(a) = b. Ini menunjukkan bahwa k surjektif.

Karena k injektif dan surjektif, kita simpulkan k suatu bijeksi.

 

Contoh 5 (bijeksi)

Misalkan ℝ+ = {x ∊ ℝ| x ≥ 0} dan v: ℝ+ → ℝ+ yang didefinisikan sebagai v(x) = x2.

[Bandingkan dengan Contoh 3!]

Dengan daerah asal yang didefinisikan di atas, fungsi v ini injektif dan surjektif.

Untuk membuktikan v injektif, misalkan v(a) = v(b). Selanjutnya, diperoleh:

a2 = b2

(a + b)(ab) = 0   …………………….. (*)

a = b atau a = –b

Akan ditunjukkan bahwa dalam kasus ini tidak ada kemungkinan lain selain a = b. Untuk membuktikan ini, akan digunakan cara kontradiksi.

Andaikan ab.

Mengingat (*), haruslah berlaku a + b = 0. Dengan demikian ada dua kemungkinan, yaitu a = b = 0 atau a = –b. Karena pengandaian ab, a = b = 0 tidak mungkin. Jadi haruslah berlaku a ≠ 0 dan a = –b . Tetapi a = –b juga tidak mungkin karena a < 0 ⇒ b > 0 dan a > 0 ⇒ b < 0. Daerah asal v tidak memungkinkan terjadinya kedua implikasi tersebut. (Ingat bahwa a, b ∊ ℝ+). Pengandaian ab mengakibatkan kontradiksi. Jadi, tak ada kemungkinan lain selain a = b.

Untuk membuktikan v surjektif, misalkan b ∊ ℝ+ sembarang. Pilih a ∊ ℝ+ (daerah asal) dengan a = √b [Ini memungkinkan karena b ≥ 0]. Akibatnya, v(a) = (√b)2 = b. Jadi, untuk setiap b ∊ ℝ+ terdapat a ∊ ℝ+ sedemikian hingga v(a) = b. Ini menunjukkan bahwa v surjektif.

Karena v injektif dan surjektif, v merupakan suatu bijeksi.

 

 

 

 

 

Tagging: , ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *