BILANGAN BERPANGKAT DAN FUNGSI EKSPONENSIAL

Agustus 6th, 2016

Pangkat nol

a0 = 1 ; a ∊ ℝ, a ≠ 0 [00 tidak terdefinisi]

 

Pangkat bilangan asli

a1 = a ; a ∊ ℝ

an = a1.a2.a3. … an dengan a1 = a2 = a3 = … = an = a, n ∊ ℕ

Contoh:

53 = 5.5.5 = 125

0,14 = 0,1 . 0,1 . 0,1 . 0,1 = 0,0001

 

Pangkat bilangan bulat negatif

a^{-n}=1/{a^n}; n ∊ ℕ, a ∊ ℝ, a ≠ 0

Contoh:

7^{-1}=1/{7^1}=1/7

3^{-4}=1/{3^4}=1/{3.3.3.3}=1/81

 

Pangkat bilangan rasional

a^{1/2}=sqrt{a}; a ∊ ℝ, a ≥ 0   [akar kuadrat]

Contoh:

16^{1/2}=sqrt{16}=4

 

a^{1/{2n}}=root{2n}{a}; n ∊ ℕ, a ∊ ℝ, a ≥ 0   [akar pangkat bilangan genap positif]

Contoh:

10000^{1/4}=root{4}{10000}

 

a^{1/{2n+1}}=root{2n+1}{a}; n ∊ ℕ, a ∊ ℝ [akar pangkat bilangan ganjil positif]

Contoh:

125^{1/3}=root{3}{125}=5

(-32)^{1/5}=root{5}{-32}=-2

(-128)^{1/7}=root{7}{-128}=-2

 

a^{m/{2n}}={delim{[}{a^{1/{2n}}}{]}}^m=(a^m)^{1/{2n}}; m, n ∊ ℕ, a ∊ ℝ, a ≥ 0

Contoh:

81^{3/4}=(81^{1/4})^3=(root{4}{81})^3=3^3=27

4^{5/2}=(4^5)^{1/2}=1024^{1/2}=sqrt{1024}=32

 

a^{m/{2n+1}}={delim{[}{a^{1/{2n+1}}}{]}}^m=(a^m)^{1/{2n+1}}; m, n ∊ ℕ, a ∊ ℝ

Contoh:

(-125)^{5/3}={delim{[}{(-125)^{1/3}}{]}}^5=(root{3}{-125})^5=(-5)^5=-3125

0,00001^{7/5}={delim{[}{(0,00001)^{1/5}}{]}}^7=(root{5}{0,00001})^7=0,1^7=0,0000001

8^{2/3}=(8^2)^{1/3}=64^{1/3}=root{3}{64}=4

 

a^{{-m}/{2n}}=1/{a^{m/{2n}}}; m, n ∊ ℕ, a ∊ ℝ, a > 0

Contoh:

81^{-3/4}=1/{81^{3/4}}=1/{(81^{1/4})^3}=1/{(root{4}{81})^3}=1/{3^3}=1/27

4^{-5/2}=1/{4^{5/2}}=1/{(4^5)^{1/2}}=1/{1024^{1/2}}=1/{sqrt{1024}}=1/32

 

a^{{-m}/{2n+1}}=1/{a^{m/{2n+1}}}; m, n ∊ ℕ, a ∊ ℝ, a ≠ 0

Contoh:

(-125)^{-5/3}=1/{(-125)^{5/3}}=1/{{delim{[}{(-125)^{1/3}}{]}}^5}=1/{(root{3}{-125})^5}=1/{(-5)^5}=1/{-3125}

8^{-2/3}=1/{8^{2/3}}=1/{(8^2)^{1/3}}=1/{{64}^{1/3}}=1/{root{3}{64}}=1/4

 

Bagaimana dengan pangkat-pangkat yang merupakan bilangan irasional? Misalnya, bagaimana menghitung 5^{sqrt{3}}? Tentu ini menghasilkan bilangan irasional juga, yang representasi desimalnya hanya merupakan pendekatan dengan galat (error) tertentu. Ini akan dibahas di bagian lain dalam website ini.

 

Rumus-rumus mengenai pemangkatan

(perhatikan syarat-syarat keberlakuan rumus R1 sampai dengan R5 berikut di bagian setelah R5.)

R1: a^m.a^n=a^{m+n}

R2: {a^m}/{a^n}=a^{m-n}

R3: (a^m)^n=(a^n)^m=a^{mn}

R4: (a.b)^n=a^n.b^n

R5: (a/b)^n={a^n}/{b^n}

Keterangan penggunaan rumus dan syarat keberlakuan rumus-rumus tersebut:

  1. a, b, m, n ∊ ℝ
  2. Pada R2 a ≠ 0 dan pada R5 b ≠ 0
  3. R1 sampai dengan R5 berlaku dengan syarat pemangkatan atau operasi aljabar lainnya terdefinisi. Sebagai contoh, dalam penggunaan R1 kita tak boleh menyatakan 05.0-2 = 03 karena 0-2 tidak terdefinisi. Contoh lain, misalnya dalam penggunaan R1, kita tak boleh menyatakan (-81)^{1/4}.(-81)^{1/2}=(-81)^{3/4} karena (-81)^{1/4} tidak terdefinisi, demikian halnya juga dengan (-81)^{1/2} dan (-81)^{3/4}.

 

Fungsi eksponensial

Misalkan a ∊ ℝ dengan a > 0 dan a ≠ 1 . Fungsi eksponensial adalah suatu fungsi f dari ℝ ke ℝ, dengan f(x) = ax untuk setiap x ∊ ℝ. Jika a > 1 f monoton naik sedangkan jika 0 < a < 1 f monoton turun. a dinamakan basis fungsi eksponensial tersebut.

Eksponen_01

Pada gambar di atas, kurva biru adalah tipikal bentuk kurva y = ax apabila a > 1 sedangkan yang berwarna merah adalah tipikal bentuk kurva y = ax apabila 0 < a < 1. Setiap grafik y = ax berpotongan dengan sumbu y di (0,1). Ini merupakan akibat dari a0 =1 untuk setiap a ∊ ℝ dengan a ≠ 0. Selanjutnya, sumbu x merupakan asimtot datar kurva y = ax; walaupun kurva semakin mendekati sumbu x, namun kurva tersebut tidak memotong sumbu x.

 

Salah satu fungsi eksponensial yang penting adalah fungsi eksponensial dengan e (bilangan Euler) sebagai basisnya. Fungsi ini dinamakan fungsi eksponensial alami, yaitu suatu fungsi f dari ℝ ke ℝ dengan f(x) = ex untuk setiap x ∊ ℝ. Fungsi ini banyak sekali penerapannya di berbagai bidang, baik ilmu alam maupun ilmu sosial.

 

Tagging: ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *