KEKONTINUAN FUNGSI MENENTUKAN KEBERADAAN NILAI EKSTRIM

Desember 28th, 2016

Di post saya terdahulu telah diperkenalkan mengenai kekontinuan fungsi di suatu titik. Secara sekilas hal itu tidak penting, padahal kontinu atau tidak kontinunya fungsi dapat menentukan ada atau tidak adanya nilai ekstrim fungsi itu di suatu selang/interval. Mari kita perhatikan beberapa contoh.

Contoh 1

Misalkan f suatu fungsi dari [0,1] ke ℝ dengan aturan fungsi:

Berapakah nilai sebesar-besarnya dan nilai sekecil-kecilnya yang dapat diraih oleh f pada interval [0,1] tersebut?

Perhatikan bahwa untuk x > 0, f(x) ~=~ 1/x. f ini merupakan fungsi yang monoton turun murni (strictly decreasing) pada (0,1], yaitu x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2). Dengan kata lain, untuk x > 0, semakin besar nilai x semakin kecil nilai f(x). (Lihat Gambar 1.)

Gambar 1

Karena f yang monoton turun murni ini utk x > 0, dapat kita simpulkan bahwa nilai terkecil yang dapat diraih f adalah 1. Untuk x = 0, f(x) = 4. Jadi, nilai minimum f di [0,1] adalah 1 dan nilai tersebut dicapai apabila x = 1. Tetapi, untuk x > 0, apabila x semakin mendekat menuju 0, nilai f(x) semakin besar (tanpa batas). Jadi, f tidak memiliki nilai maksimum pada [0,1].

 

Contoh 2

Misalkan g suatu fungsi dari [¼,2] ke ℝ dengan aturan fungsi:

Berapakah nilai sebesar-besarnya dan nilai sekecil-kecilnya yang dapat diraih oleh g pada interval [¼,2] tersebut?

Seperti halnya fungsi f pada Contoh 1, fungsi g monoton turun murni (strictly decreasing) pada [¼,2). (Lihat Gambar 2.)

Gambar 2

 

Karena  g monoton turun murni pada [¼,2), nilai terbesar yang dapat diraih g adalah 4, yang dicapai apabila x = ¼. Perhatikan juga bahwa g(2) = 3. Jadi, g memiliki nilai maksimum 4 yang dicapai apabila x = ¼. Namun, walaupun g(x) ≥ ½ untuk setiap x ∊ [¼,2], ½ bukanlah nilai minimum bagi g pada [¼,2] karena tidak ada x ∊ [¼,2] sedemikian hingga g(x) = ½. Tidak ada nilai minimum bagi fungsi g di selang tersebut.

Contoh 3

Misalkan h suatu fungsi dari [0,2] ke ℝ dengan aturan fungsi sebagai berikut:

Berapakah nilai sebesar-besarnya dan nilai sekecil-kecilnya yang dapat diraih oleh h pada interval tersebut?

Untuk x ≠ 1, h merupakan fungsi parabolik (lihat post saya mengenai fungsi kuadrat), sehingga grafik h dapat dilihat sebagai berikut.

Gambar 3

Perhatikan bahwa untuk setiap x ∊ [0,2], h(x) ≤ 1. Namun demikian, nilai 1 tersebut tidak mungkin dicapai oleh h karena untuk setiap x ∊ [0,2] h(x) ≠ 1. Jadi h tidak memiliki nilai maksimum. Nilai minimum h adalah 0, dicapai untuk x = 0 atau x = 2.

Apa penyebab kegagalan f, g, dan h memiliki nilai maksimum dan nilai minimum?

Pada Contoh 1, f tidak kontinu di titik ujung interval [0,1], f tidak kontinu kanan di 0.

Pada Contoh 2, g tidak kontinu di titik ujung interval [¼,2], g tidak kontinu kiri di 2.

Pada Contoh 3, h tidak kontinu di x = 1, padahal 1 ∊ [0,2], daerah asal h.

Dari contoh-contoh tersebut kita dapat melihat bagaimana diskontinuitas bisa ‘menggagalkan’ adanya nilai-nilai ekstrim. Syarat cukup apa yang dapat menjamin keberadaan nilai-nilai ekstrim fungsi di suatu interval terbatas? Teorema berikut menjawabnya.

Teorema

Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi pada selang tutup I ⊆ ℝ. Jika f kontinu di I maka terdapat c1, c2 ∊ I sedemikian hingga f(c1) merupakan nilai minimum dan f(c2) merupakan nilai maksimum di I.

Menurut teorema tersebut, apabila f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tutup [a,b] dan f kontinu di setiap anggota daerah asalnya (di setiap x ∊ [a,b]) maka f akan memiliki nilai maksimum dan f juga akan memiliki nilai minimum. Jika semua kondisi yang dipersyaratkan ini dipenuhi (semua syarat cukupnya dipenuhi), teorema tersebut memberikan jaminan adanya nilai maksimum dan nilai minimum fungsi tersebut.

Dengan dikemukakannya teorema tersebut, saya kira para pembaca post ini dapat memahami mengapa pada Contoh 1, Contoh 2, dan Contoh 3, masing-masing fungsi tersebut gagal untuk memiliki nilai-nilai ekstrim.

 

Tagging: , ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *