KEKONTINUAN FUNGSI

Oktober 7th, 2016

kontinu_9 

Salah satu topik yang berkaitan dengan konsep limit fungsi adalah kekontinuan fungsi atau kontinuitas fungsi. Suatu fungsi dapat kontinu atau tidak kontinu di suatu titik.

 

Definisi

Misalkan f adalah suatu fungsi riil.  f dikatakan kontinu di x = c apabila lim{x right c}{f(x)} ~=~ f(c).

 

Catatan:

Fungsi riil adalah fungsi dengan daerah asal maupun daerah nilainya merupakan himpunan bagian dari ℝ.

 

Persyaratan lim{x right c}{f(x)} ~=~ f(c) pada definisi di atas, teknis pembuktiannya mencakup tiga hal, yaitu: 1) lim{x right c}{f(x)} ada (yaitu nilai limit kiri sama dengan nilai limit kanannya), 2) f(c) terdefinisi, dan 3) lim{x right c}{f(x)} ~=~ f(c). Apabila ada di antara ketiga hal ini yang tidak dipenuhi, maka kita simpulkan f tidak kontinu (=diskontinu) di x = c.

 

Contoh 1

Misalkan f suatu fungsi dari ℝ ke ℝ dengan aturan fungsi sebagai berikut.

kontinu_1

Apakah f kontinu di x = 3?

 

Jawab:

Langkah 1: Memeriksa eksistensi limit fungsi di x = 3

Limit kiri: lim{x right 3^{-}}{f(x)} ~=~ lim{x right 3^{-}}{(x ~+~ 1)} ~=~ 4

Limit kanan: lim{x right 3^{+}}{f(x)} ~=~ lim{x right 3^{+}}{(7 ~-~ x)} ~=~ 4

Ternyata nilai limit kirinya sama dengan limit kanannya, yaitu 4.

Kita simpulkan lim{x right 3}{f(x)} ada dan lim{x right 3}{f(x)} ~=~ 4

Langkah 2: Memeriksa apakah f terdefinisi di x = 3

Dari pendefinisian f, f(3) terdefinisi, yaitu f(3) = 2

Langkah 3: Memeriksa kesamaan nilai limit fungsi dengan nilai fungsinya

Dari langkah-langkah sebelumnya diperoleh bahwa lim{x right 3}{f(x)} ~<>~ f(3)” title=”lim{x right 3}{f(x)} ~<>~ f(3)”/></p>
<p>Kesimpulan: <span style= f tidak kontinu (atau diskontinu) di x = 3. Situasi pada contoh ini dapat dilihat pada Gambar 1.

kontinu_2

Gambar 1

 

Catatan:

Diskontinuitas di x = 3 pada Contoh 1 dinamakan ketidakkontinuan yang dapat dihapuskan. Dengan mendefinisikan kembali nilai f di x = 3, fungsi tersebut menjadi kontinu. Jadi, agar f kontinu di x = 3, kita definisikan f(3) = 4.

 

Contoh 2

Misalkan g suatu fungsi dari ℝ ke ℝ dengan aturan fungsi sebagai berikut.

kontinu_3

Apakah g kontinu di x = 0?

 

Jawab:

Langkah 1: Memeriksa eksistensi limit fungsi di x = 0

Limit kiri: lim{x right 0^{-}}{g(x)} ~=~ lim{x right 0^{-}}{(- x)} ~=~ 0

Limit kanan: lim{x right 0^{+}}{g(x)} ~=~ lim{x right 0^{+}}{(1 ~-~ x^2)} ~=~ 1

Ternyata nilai limit kirinya tidak sama dengan limit kanannya, sehingga kita simpulkan lim{x right 0}{g(x)} tidak ada. Pada langkah ini juga, langsung simpulkan g tidak kontinu di x = 0. Situasi pada contoh ini dapat dilihat pada Gambar 2.

kontinu_4

Gambar 2

 

Catatan:

Diskontinuitas di x = 0 pada Contoh 2 dinamakan ketidakkontinuan yang dapat tak terhapuskan. Kita tidak dapat mendefinisikan kembali nilai g di x = 0 untuk membuat g kontinu di sana.

 

Contoh 3

Misalkan h suatu fungsi dari ℝ ke ℝ dengan aturan fungsi sebagai berikut.

kontinu_5

Apakah h kontinu di x = 0?

 

Jawab:

Salah satu syarat agar h kontinu di x = 0 adalah h terdefinisi di x = 0. Namun pada contoh ini h(0) tidak terdefinisi. Jadi h tidak kontinu di x = 0. Situasi pada contoh ini dapat dilihat pada Gambar 3.

kontinu_7

Gambar 3

 

Contoh 4

Misalkan k suatu fungsi dari ℝ ke ℝ dengan aturan fungsi sebagai berikut.

kontinu_8

Apakah k kontinu di x = -1?

 

Jawab:

Langkah 1: Memeriksa eksistensi limit fungsi di x = 3

Limit kiri: lim{x right -1^{-}}{k(x)} ~=~ lim{x right -1^{-}}{(-x ~-~ 1)} ~=~ 0

Limit kanan: lim{x right -1^{+}}{k(x)} ~=~ lim{x right -1^{+}}{sqrt{x ~+~ 1}} ~=~ 0

Karena limit kiri sama dengan limit kanan, kita simpulkan lim{x right -1}{k(x)} ada, dan lim{x right -1}{k(x)} ~=~ 0.

Langkah 2: Memeriksa apakah k terdefinisi di x = -1

k(-1) ~=~ sqrt{-1 ~+~ 1} ~=~ 0.

Jadi, k terdefinisi di x = -1.

Langkah 3: Memeriksa kesamaan nilai limit fungsi dengan nilai fungsinya

Dari kedua langkah sebelumnya, diperoleh bahwa lim{x right -1}{k(x)} ~=~ k(-1).

Dengan melakukan tiga langkah tadi, ternyata ketiga syarat kontinuitas fungsi di suatu titik dipenuhi. Jadi, kita simpulkan k kontinu di x = -1. Situasi pada contoh ini dapat dilihat pada Gambar 4.

kontinu_9

Gambar 4

 

Pada Gambar 4, tampak bahwa pada grafik fungsi kontinu tidak terdapat “lompatan” seperti grafik g (Gambar 2) atau grafik f (Gambar 1), tidak terdapat bagian yang “terputus” seperti grafik f (Gambar 1) atau grafik h (Gambar 3). Grafik fungsi k tampak “bersambung/berkesinambungan” tanpa ada celah atau lompatan. Definisi yang diberikan di bagian awal post ini merupakan perumusan formal matematis untuk menerangkan pengertian kesinambungan ini.

 

Lihat juga materi yang ada kaitannya dengan kekontinuan berikut ini:

Penerapan Teorema Nilai Rata-Rata dalam Penaksiran

Mencari akar persamaan menggunakan kekontinuan fungsi

Kekontinuan fungsi dan keberadaan nilai ekstrim fungsi

Tagging: , , ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *