FUNGSI KUADRAT

November 20th, 2016

parabola_1

Jika kita melepaskan sebuah benda dari suatu ketinggian (misalnya 20 meter di atas tanah), maka benda tersebut akan mengalami jatuh bebas dan ketinggian benda itu semakin berkurang. Ketinggian benda tersebut setiap 0,2 detik sejak dilepaskan dapat dlihat pada tabel berikut.

tabel_ketinggian

Pada tabel tersebut, t merupakan selang waktu (dalam satuan detik) sejak benda dilepaskan dari ketinggian 20 meter. Benda dilepaskan pada saat t = 0 detik dan pada saat itu ketinggiannya 20 meter. h(t), dalam satuan meter, menyatakan ketinggian benda pada saat t detik setelah benda dilepaskan. Perhatikan bahwa pada saat t = 2,0 detik ketinggian benda adalah 0,0 meter; ini berarti bahwa pada saat 2,0 detik sejak benda dilepaskan, benda tiba di tanah.

 

Grafik ketinggian (h) terhadap waktu (t) dapat dilihat pada gambar berikut.

parabola_1

Gambar 1

 

Kurva pada Gambar 1 merupakan suatu parabola. Secara umum, parabola memiliki persamaan:

y = ax2 + bx + c

dengan a ≠ 0.

 

Misalkan f suatu fungsi dari ℝ ke ℝ. Jika f memetakan setiap x ∊ ℝ ke f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, c merupakan konstanta dan a ≠ 0 maka f dinamakan fungsi kuadrat. Grafik dari suatu fungsi kuadrat merupakan suatu parabola.

 

Parabola dengan persamaan y = ax2 + bx + c ; a ≠ 0 memiliki ciri-ciri sebagai berikut.

  1. [Sifat 1] Jika a > 0 maka parabola membuka ke atas (cekung ke atas) dan jika a < 0 maka parabola membuka ke bawah.

pengaruh_a

Gambar 2

 

  1. [Sifat 2] Parabola memotong sumbu y di (0,c).

pengaruh_c

Gambar 3

  1. [Sifat 3] Dalam hal titik potong dengan sumbu x, terdapat tiga kemungkinan, tergantung dari nilai diskriminan (D). D = b2 – 4ac.

D < 0 ⇔ parabola tidak memotong sumbu x

tipot_x_1

Gambar 4

D = 0 ⇔ parabola menyinggung sumbu x (= memotong sumbu x di satu titik)

tipot_x_2

Gambar 5

D > 0 ⇔ parabola memotong sumbu x di dua titik yang berlainan

tipot_x_3

Gambar 6

 

Untuk mencari koordinat titik potong parabola dengan sumbu x, carilah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Akar-akar tersebut merupakan absis dari koordinat titik potong parabola dengan sumbu x. Jika D = 0 persamaan itu memiliki hanya sebuah akar sehingga hanya ada satu buah titik potong dengan sumbu x. Jika D > 0 persamaan itu memiliki dua akar berlainan sehingga terdapat dua buah titik potong dengan sumbu x. Jika D < 0 maka persamaan itu tidak memiliki akar sehingga parabola tidak memotong sumbu x.

  1. [Sifat 4] Parabola memiliki sumbu simetri dengan persamaan x ~=~ - ~ b/{2a}.

sumbu_simetri

Gambar 7

 

  1. [Sifat 5] Parabola memiliki sebuah titik balik. Ada dua jenis titik balik. Jika a > 0 titik balik tersebut merupakan titik balik minimum dan jika a < 0 titik balik tersebut merupakan titik balik maksimum. Titik ini disebut juga titik ekstrim. Pada Gambar 8, titik P(xE,yE) merupakan titik ekstrim.

x_{E} ~=~ - ~ b/{2a}

y_{E} ~=~ D/{- ~ 4a}

Selanjutnya, yE dinamakan nilai ekstrim dari f. Terdapat dua jenis nilai ekstrim, yaitu nilai minimum dan nilai maksimum. Jika a > 0 maka yE merupakan nilai sekecil-kecilnya yang dapat diraih f(x), yaitu nilai minimum f(x). Jika a < 0 maka yE merupakan nilai sebesar-besarnya yang dapat diraih f(x), yaitu nilai maksimum f(x).

titik_ekstrim

Gambar 8

 

Contoh

Misalkan f suatu fungsi kuadrat dengan f(x) = ½x2x – 4. Tentukan koordinat titik potong grafik f dengan kedua sumbu. Tentukan koordinat titik balik dan jenis titik balik tersebut. Berapakah nilai ekstrim fungsi tersebut? Tentukan jenis nilai ekstrim tersebut.

 

Jawab

Pada kasus ini, a = ½, b = -1, dan c = -4. Karena c = -4, koordinat titik potong dengan sumbu y adalah (0,-4) [Sifat 2]. Untuk menentukan koordinat titik potong dengan sumbu x, kita selesaikan persamaan kuadrat ½x2x – 4 = 0. Kalikan kedua ruas persamaan itu dengan 2, diperoleh:

x2 – 2x – 8 = 0

                ⇔           (x + 2)(x – 4) = 0

⇔           x = -2 atau x = 4

Persamaan tersebut memberikan dua buah akar, yaitu x1 = -2 dan x2 = 4. Jadi, koordinat titik potong parabola dengan sumbu x adalah (-2,0) dan (4,0). Untuk mencari koordinat titik balik, kita dapat menggunakan rumus-rumus pada [Sifat 5] di atas.

contoh_1_fkuadrat

Jadi, koordinat titik balik parabola itu adalah (1,-4½). Karena a > 0 (parabola membuka ke atas) titik balik tersebut merupakan titik balik minimum. Nilai ekstrim fungsi itu adalah -4½. Karena a > 0, nilai ekstrim ini merupakan nilai minimum. Grafik f pada contoh ini digambarkan sebagai berikut.

gbr_contoh_1

 

Gambar 9

 

Mengenai bagaimana cara menggambar parabola, dapat dipelajari pada tautan berikut: Teknik Menggambar Parabola

LATIHAN SOAL:

Menentukan Nilai Ekstrim Fungsi Kuadrat

 

 

 

 



Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *