TITIK BERAT SEGITIGA ISTIMEWA

November 6th, 2016

(English version of this article is available at edsmathscholar.com, click here)

Di post saya yang terdahulu, telah saya uraikan di mana letak titik berat segitiga sembarang. Sebagai kasus khusus, kali ini akan dibahas mengenai titik berat segitiga sama kaki, titik berat segitiga sama sisi, dan titik berat segitiga siku-siku.

TITIK BERAT SEGITIGA SAMA KAKI

Perhatikan ∆ABC berikut ini. Pada segitiga tersebut, AC = BC. Misalkan E titik tengah AB dan D titik tengah BC.

segitiga_kh_01

Gambar 1

Karena ∆ABC sama kaki dengan AC = BC, garis berat CE merangkap sekaligus sebagai garis tinggi. Jadi, CE ⊥ AB. Jika AC = b, BC = a dan AB = c maka dengan rumus Pythagoras dapat ditunjukkan bahwa garis tinggi CE panjangnya adalah t_C, yaitu:

Telah dibuktikan pada post saya yang lalu bahwa CT : TE = 2 : 1. Jadi, menurut perbandingan tersebut:

Jika x_C = AE dan dan y_C = TE maka:

Apabila T’ adalah hasil proyeksi T pada sisi BC, berapakah CT’ dan TT’? (Lihat Gambar 2)

segitiga_kh_02

Gambar 2

Dengan memisalkan ∠T’CT = θ, CT’ = CT cos θ. Dalam ∆CEB,

sedangkan:

Akibatnya,

Karena (*), dapat disimpulkan:

Pada post saya yang lalu telah dijelaskan bahwa jarak titik berat ke suatu alas segitiga adalah sepertiga dari garis tinggi yang didirikan di atas alas tersebut. Jadi,

dengan t_A adalah garis tinggi yang didirikan pada BC, yaitu garis tinggi yang ditarik dari A. Dari perbandingan t_A : t_C = AB : BC = c : a dan pernyataan (*), diperoleh:

dan selanjutnya:

Dengan memisalkan CT’ = x_A dan TT’ = y_A, disimpulkan sebagai berikut:

Proyeksi T pada sisi AC memberikan hasil serupa. Misalkan T” adalah proyeksi T pada AC. Dengan simetrisnya ∆ABC terhadap garis tinggi CE, CT” = CT’ dan TT” = TT’. Dengan memisalkan CT” = x_B dan TT” = y_B, diperoleh:

(Ingat bahwa pada segitiga sama kaki ABC ini, a = b)

TITIK BERAT SEGITIGA SAMA SISI

Segitiga sama sisi ABC merupakan segitiga sama kaki juga sehingga semua rumus yang telah diturunkan di atas berlaku juga untuk segitiga sama sisi. Pada rumus x_A dan y_A di atas, substitusikan c = a sehingga diperoleh

segitiga_kh_03

Gambar 3

Karena a = b = c,

dengan a adalah panjang sisi segitiga sama sisi tersebut.

TITIK BERAT SEGITIGA SIKU-SIKU

Misalkan ∆ABC siku-siku di A dengan AB = c, AC = b, dan BC = a. Tempatkan segitiga tersebut pada bidang koordinat Kartesius sedemikian hingga AB berimpit dengan sumbu x, AC berimpit dengan sumbu y, dan A berimpit dengan titik pangkal koordinat O. (Lihat Gambar 4)

segitiga_kh_04

Gambar 4

Dengan penempatan tersebut, A(0,0), B(c,0), dan C(0,b). Pada post saya sebelumnya, koordinat titik berat segitiga tersebut (yaitu titik T) dapat ditentukan dengan rumus:

Dengan substitusi terhadap ketiga vektor posisi A, B, dan C, diperoleh bahwa T(c/3,b/3)

Misalkan T’ adalah titik hasil proyeksi T terhadap sisi BC. Berapakah jarak T’ terhadap B? Berapakah jarak T’ terhadap C?

Berapakah jarak T terhadap sisi BC?

Pada post saya yang lalu telah dijelaskan bahwa jarak titik berat ke suatu alas segitiga adalah sepertiga dari garis tinggi yang didirikan di atas alas tersebut. Panjang garis tinggi yang ditarik dari A adalah: