CONTOH PENERAPAN RUMUS SUDUT GANDA TRIGONOMETRI

Agustus 14th, 2016

Adik-adik SMA tentunya sudah sangat akrab dengan sudut-sudut istimewa, misalnya 300, 450, dan 600. Dengan menggunakan sifat-sifat segitiga-segitiga sama sisi atau sama kaki, nilai sinus, cosinus, tangen, dan fungsi trigonometri lainnya bagi sudut-sudut tersebut dapat dihitung. Dengan sifat-sifat tersebut, diperoleh misalnya sin 300 = ½, tan 600 = √3, cos 450 = ½√2, dan sebagainya.

 

Sekarang bagaimana dengan misalnya cos 360, sin 360, tan 360? Ternyata nilai-nilai ini dapat dihitung menggunakan bantuan sebuah segitiga sama kaki dengan sudut-sudut 720, 720, dan 360. Gambarlah ∆ABC sama kaki dengan ∠B = 360, ∠A = ∠C = 720. (Lihat gambar di bawah.)

sdt_istimewa_lain

Dengan sudut-sudut tersebut, akibatnya AB = CB. Kita misalkan AB = CB = a dan misalkan AC = x. Menurut aturan cosinus:

x2 = a2 + a2 – 2.a.a.cos 360

x2 = 2a– 2a2cos 360 ………………………………………………………….. (1)

Menurut aturan sinus:

a/{sin{72^0}}=x/{sin{36^0}} …………………………………………………………………….. (2)

Dari rumus sudut ganda sin 2α = 2 sin α cos α, diperoleh sin 720 = 2 sin 360 cos 360, sehingga (2) menjadi:

a/{2 sin{36^0} cos{36^0}}=x/{sin{36^0}}

dan dari sini kita peroleh:

x=a/{2 cos{36^0}} ………………………………………………………………………… (3)

Perlu diperhatikan bahwa karena ∆ABC tidak sama sisi, xa sehingga dari (3) kita simpulkan bahwa cos 360 ≠ ½. Selanjutnya, substitusikan (3) ke (1), diperolehlah:

{a^2}/{4 {cos}^2 36^0}=2a^2 - 2a^2 cos{36^0}

Karena a ≠ 0, hasil terakhir tadi dapat ditulis sebagai:

1/{4 {cos}^2 36^0}=2 - 2 cos{36^0}……………………………………………. (4)

Misalkan cos 360 = p dengan p ≠ ½ (lihat penjelasan sebelumnya)

Dengan demikian (4) merupakan persamaan pangkat 3 dalam p, yaitu:

8p3 – 8p2 + 1 = 0

Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, faktorkan suku-suku di ruas kiri, diperoleh:

(2p – 1)(4p2 – 2p – 1) = 0

Dari persamaan ini diperoleh 2p – 1 = 0 atau 4p2 – 2p – 1 = 0. Karena p ≠ ½, yang berlaku adalah:

4p2 – 2p – 1 = 0

Dengan menggunakan rumus untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat, diperolehlah:

p={2 pm sqrt{20}}/8={1 pm sqrt{5}}/4

Jadi, cos 36^0={1+sqrt{5}}/4 atau cos 36^0={1-sqrt{5}}/4. Namun karena 360 adalah sudut lancip, nilai cosinus-nya positif, sehingga yang kita pilih adalah cos 36^0={1+sqrt{5}}/4.

Jadi, cos 36^0={1+sqrt{5}}/4.

Dengan sudah diketahuinya nilai cos 360, tentunya nilai sin 360, tan 360, sec 360, csc 360, dan cot 360 dapat dengan mudah dihitung. Misalnya, untuk menghitung sin 360, kita dapat menggunakan identitas trigonometri sin2 A + cos2 A = 1:

sin2 360 + cos2 360 = 1

sin^2 36^0+({1+sqrt{5}}/4)^2=1

sin^2 36^0=1/{16} (10-2sqrt{5})

Karena 360 sudut lancip, nilai sin 360 positif sehingga:

sin{36^0}=1/4 sqrt{10-2sqrt{5}}

Untuk menghitung tan 360, kita gunakan identitas trigonometri tan{A}={sin{A}}/{cos{A}}:

tan{36^0}={1/4 sqrt{10-2sqrt{5}}}/{{1+sqrt{5}}/4}=sqrt{{10-2sqrt{5}}/{6+2sqrt{5}}}=sqrt{{5-sqrt{5}}/{3+sqrt{5}}}=sqrt{5-2sqrt{5}}

Setelah itu, menghitung sec 360, csc 360, cot 360 menjadi mudah, mengingat sec 36^0=1/{cos{36^0}}, csc 36^0=1/{sin{36^0}}, dan cot 36^0=1/{tan{36^0}}.

 

Bukan hanya itu, dengan rumus sudut ganda cos A=pm sqrt{{1+cos 2A}/2} nilai-nilai cos 180, cos 90, cos 4½0, dan seterusnya dapat dihitung. Sebagai contoh, bisa kita hitung cos 180 sebagai berikut.

cos 18^0=sqrt{{1+cos 36^0}/2}=sqrt{{1+{1+sqrt{5}}/4}/2}=1/4 sqrt{10+2 sqrt{5}}

(Tanda positif dipilih karena sudut 180 merupakan sudut lancip.)

Jadi, cos 18^0=1/4 sqrt{10+2 sqrt{5}}.

Posting ini mengilustrasikan kegunaan atau penerapan rumus-rumus sudut ganda trigonometri dalam mencari nilai-nilai fungsi trigonometri sudut-sudut tertentu. Sebenarnya penggunaan rumus sudut ganda bukan hanya itu, namun juga berguna dalam mencari penyelesaian suatu integral tak tentu (indefinite integrals) yang melibatkan fungsi-fungsi trigonometri pangkat tinggi. Ini dibahas di posting lainnya dalam situs web ini.

 

Tagging: ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *