RUANG VEKTOR

Mei 14th, 2017

Istilah vektor sering muncul dalam fisika maupun matematika. Apakah vektor itu sesungguhnya? Dalam post ini akan diuraikan pengertian vektor secara umum. Pertama-tama akan diuraikan terlebih dahulu pengertian ruang vektor.

 

Definisi [Ruang Vektor]

Misalkan F suatu lapangan (field) yang anggota-anggotanya dinamakan skalar. Suatu ruang vektor atas F adalah himpunan tak kosong V, yang anggota-anggotanya dinamakan vektor, dengan dilengkapi dua operasi. Operasi pertama, dinamakan penjumlahan dan dilambangkan dengan +, memasangkan setiap (u,v) ∊ VxV dengan sebuah vektor u+v ∊ V. Operasi kedua, dinamakan perkalian skalar dan dinyatakan dengan juxtaposition, memasangkan setiap (k,u) ∊ FxV dengan sebuah vektor ku ∊ V. Selain itu, syarat-syarat berikut harus dipenuhi.

Sifat asosiatif penjumlahan:

u + (v + w) = (u + v) + w untuk setiap u, v, w ∊ V

Sifat komutatif penjumlahan:

u + v = v + u untuk setiap u, v ∊ V

Keberadaan nol:

Terdapat suatu vektor 0 ∊ V sedemikian hingga 0 + v = v + 0 = v untuk setiap v ∊ V

Keberadaan invers aditif:

Untuk setiap u ∊ V terdapat suatu vektor, dilambangkan dengan -u, yang memenuhi u + (-u) = (-u) + u = 0

Sifat-sifat perkalian skalar:

Untuk setiap r, s ∊ F dan untuk setiap u, v ∊ V berlaku

r(u + v) = ru + rv

(r + s)u = ru + su

(rs)u = r(su)

1u = u

 

Catatan

Untuk membedakan skalar dan vektor dalam tulisan, vektor dinyatakan dalam huruf bercetak tebal atau dapat pula dinyatakan dengan huruf yang disertai dengan tanda panah ke kanan di atas huruf tersebut. Jadi, suatu vektor v dapat dinyatakan dengan v atau vec{v}. Huruf yang menyatakan skalar tidak dicetak tebal, juga tidak disertai tanda panah di atasnya.

 

Contoh 1

Misalkan A adalah himpunan semua pasangan berurut (x,y) dengan x, y ∊ ℝ. Penjumlahan pada A didefinisikan sebagai berikut: (x,y) + (x’,y’) = (x+x’,y+y’) dan perkalian skalar k(x,y) = (kx,y). Apakah A suatu ruang vektor atas lapangan ℝ?

 

Jawab:

A bukan ruang vektor atas lapangan ℝ karena tidak memenuhi kondisi (r + s)u = ru + su. Sebagai contoh, apabila r = 2, s = 3, dan u = (5,7) maka:

(r+s)u = (2+3) u = 5u = 5(5,7) = (5.5,7) = (25,7)

ru = 2u = 2(5,7) = (2.5,7) = (10,7)

su = 3u = 3(5,7) = (3.5,7) = (15,7)

ru + su = (10,7) + (15,7) = (25,14)

Dari uraian di atas, ternyata (r + s)u ≠ ru + su. Jadi, A bukan suatu ruang vektor atas ℝ.

 

Contoh 2

Misalkan B himpunan semua pasangan berurut (x,y) dengan x, y ∊ ℝ. Penjumlahan pada B didefinisikan sebagai berikut: (x,y) + (x’,y’) = (x+x’,y+y’) dan perkalian skalar k(x,y) = (3kx,ky). Apakah B suatu ruang vektor atas lapangan ℝ?

 

Jawab:

B bukan ruang vektor atas lapangan ℝ karena tidak memenuhi kondisi 1u = u. Sebagai contoh, jika u = (2,7) maka 1u = 1(2,7) = (3.1.2,1.7) = (6,7). Ternyata 1uu. Jadi, B bukan suatu ruang vektor atas ℝ.

 

Contoh 3

Misalkan C himpunan semua pasangan berurut (x,y) dengan x, y ∊ ℝ. Penjumlahan pada C didefinisikan sebagai berikut: (x,y) + (x’,y’) = (x+x’,y+y’) dan perkalian skalar k(x,y) = (kx,ky). Apakah C suatu ruang vektor atas lapangan ℝ?

 

Jawab:

C dengan kedua operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan memenuhi semua kondisi yang harus dipenuhi oleh suatu ruang vektor. (Periksalah! – Contoh pembuktiannya dapat dipelajari pada bagian Contoh 2 pada post saya lainnya yang berjudul Subruang Vektor) Jadi, C merupakan suatu ruang vektor atas ℝ.

 

Tagging: , ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *