SUBRUANG VEKTOR

Mei 26th, 2017

Di post saya terdahulu telah diuraikan pengertian ruang vektor. Karena ruang vektor merupakan suatu himpunan (dengan sejumlah sifat tertentu), suatu pertanyaan yang dapat diajukan adalah apabila terdapat suatu himpunan bagian dari ruang vektor V dan operasi penjumlahan dan perkalian skalarnya adalah sebagaimana yang didefinisikan pada V, apakah himpunan bagian tersebut merupakan ruang vektor juga? Dengan kata lain, apabila V suatu ruang vektor, W ⊆ V, dan pada W didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar sebagaimana dalam V, apakah W suatu ruang vektor? Belum tentu! Mari kita perhatikan suatu contoh.

Contoh 1

Misalkan V = ℝxℝ. Penjumlahan pada V didefinisikan sebagai berikut: (x,y) + (x’,y’) = (x+x’,y+y’) dan perkalian skalar k(x,y) = (kx,ky). Dapat ditunjukkan bahwa V merupakan suatu ruang vektor atas lapangan ℝ. Sekarang misalkan W = ℝx{1} dan pada W didefinisikan operasi jumlah (x,y) + (x’,y’) = (x+x’,y+y’) dan perkalian skalar k(x,y) = (kx,ky). W merupakan himpunan bagian dari ruang vektor V, namun W bukan merupan ruang vektor. Sebagai contoh penyangkal, perhatikan bahwa (3,1) ∊ W dan (10,1) ∊ W. Menurut pendefinisikan penjumlahan pada V, (3,1) + (10,1) = (13,2), namun (13,2) ∉ W. Jadi, W bukan merupakan suatu ruang vektor.

Contoh 2

Pada Contoh 1, misalkan W = {(x,y) ∊ ℝxℝ| x = y} dan operasi penjumlahan dan perkalian skalar pada W adalah sebagaimana yang didefinisikan pada V, yaitu (x,y) + (x’,y’) = (x+x’,y+y’) dan k(x,y) = (kx,ky). Perhatikan bahwa W ⊆ V. Dalam contoh ini, W merupakan ruang vektor atas lapangan ℝ. Mari kita buktikan bahwa W merupakan suatu ruang vektor atas ℝ.

Untuk membuktikan bahwa W tertutup terhadap operasi penjumlahan [yaitu u,v  ∊ W ⇒ (u + v) ∊ W], kita ambil u ∊ W dan v ∊ W sembarang. Misalkan u = (u0,u0) dan v = (v0,v0). Menurut definisi operasi penjumlahan pada W, u + v = (u0+v0,u0+v0) ∊ W. Jadi W tertutup terhadap operasi penjumlahan.

Untuk membuktikan bahwa W tertutup terhadap perkalian skalar [yaitu (k ∊ ℝ dan u ∊ W) ⇒ ku ∊ W], kita ambil k ∊ ℝ dan u ∊ W sembarang. Misalkan u = (u0,u0). Menurut definisi operasi perkalian skalar pada W, ku = (ku0,ku0) ∊ W. Jadi W tertutup terhadap operasi perkalian skalar.

Untuk membuktikan sifat asosiatif penjumlahan, misalkan u, v, w ∊ W sembarang. Karena W ⊆ V, ketiga vektor u, v, w ∊ V. Karena V merupakan ruang vektor, berlakulah u + (v + w) = (u + v) + w. (Terbukti)

Untuk membuktikan sifat komutatif penjumlahan, misalkan u, v ∊ W sembarang. Karena W ⊆ V, kedua vektor u, v ∊ V. Karena V merupakan ruang vektor, berlakulah u + v = v + u. (Terbukti)

Untuk membuktikan keberadaan nol, perhatikan bahwa (0,0) ∊ W dan (0,0) ini merupakan vektor 0 ∊ W sedemikian hingga 0 + v = v + 0 = v untuk setiap v ∊ W. Misalkan v ∊ W sembarang dan v = (v0,v0). Akibatnya 0 + v = (0,0) + (v0,v0) = (0+v0,0+v0) = (v0,v0) = v. Jadi, 0 + v = v. Selanjutnya, v + 0 = (v0,v0) + (0,0) = (v0+0,v0+0) = (v0,v0) = v. Jadi, v + 0 = v. (Terbukti)

Untuk membuktikan keberadaan invers aditif, misalkan u ∊ W sembarang dan u = (u0,u0). Pilih -u = (-u0,-u0) ∊ W. Akibatnya u + (-u) = (u0,u0) + (-u0,-u0) = (u0+(-u0),u0+(-u0)) = (u0-u0,u0-u0) = (0,0) = 0. Selanjutnya, (-u) + u = (-u0,-u0) + (u0,u0) = (-u0+u0,-u0+u0) = (0,0) = 0. (Terbukti)

Sekarang, akan dibuktikan sifat perkalian skalar yang pertama: untuk setiap r ∊ ℝ dan untuk setiap u, v ∊ W berlaku r(u+v) = ru + rv. Ambil r ∊ ℝ sembarang dan u, v ∊ W sembarang. Karena W ⊆ V, u, v ∊ V. Karena V merupakan ruang vektor, berlakulah r(u+v) = ru + rv. (Terbukti)

Akan dibuktikan sifat perkalian skalar yang kedua: untuk setiap r, s ∊ ℝ dan untuk setiap u ∊ W berlaku (r+s)u = ru + su. Ambil r, s ∊ ℝ sembarang dan u ∊ W sembarang. Karena W ⊆ V, u ∊ V. Karena V merupakan ruang vektor, berlakulah (r+s)u = ru + su. (Terbukti)

Akan dibuktikan sifat perkalian skalar yang ketiga: untuk setiap r, s ∊ ℝ dan untuk setiap u ∊ W berlaku (rs)u = r(su). Ambil r, s ∊ ℝ sembarang dan u ∊ W sembarang. Karena W ⊆ V, u ∊ V. Karena V merupakan ruang vektor, berlakulah (rs)u = r(su).

Akan dibuktikan sifat perkalian skalar yang keempat: untuk setiap u ∊ W 1u = u. Misalkan u ∊ W sembarang. Karena W ⊆ V, u ∊ V. Karena V merupakan ruang vektor, berlakulah 1u = u. (Terbukti)

Bandingkanlah Contoh 1 dan Contoh 2. Terdapat dua kesamaan pada contoh-contoh tersebut. Pertama, pada kedua contoh tersebut, W ⊆ V. Kedua, pada kedua contoh tersebut operasi penjumlahan dan perkalian skalar pada W adalah sebagaimana yang didefinisikan pada ruang vektor V. Dengan kata lain, W “mewarisi” operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V. Walaupun terdapat dua kesamaan tersebut, ternyata W pada Contoh 1 bukan merupakan ruang vektor sedangkan W pada Contoh 2 merupakan ruang vektor. Selanjutnya, dikatakan bahwa W pada Contoh 2 merupakan subruang vektor dari V.

Definisi Subruang Vektor

Misalkan V suatu ruang vektor atas lapangan F dan W ⊆ V. W merupakan suatu subruang vektor dari V apabila W merupakan ruang vektor atas lapangan F dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V.

Sekarang, bagaimana cara membuktikan bahwa suatu himpunan bagian dari suatu suatu ruang vektor, juga merupakan suatu ruang vektor dengan operasi-operasi pada ruang vektor tersebut? Dengan kata lain, apabila V suatu ruang vektor, W ⊆ V, dan pada W didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar sebagaimana pada V, bagaimana membuktikan bahwa W merupakan subruang vektor dari V?

Cara pertama adalah dengan membuktikan bahwa W memenuhi semua sifat ruang vektor. Ini sudah diperagakan pada Contoh 2 di atas. Apabila diperhatikan pembuktian pada Contoh 2 tersebut, beberapa sifat dibuktikan dengan mudah karena sifat tersebut “diwariskan” kepada W oleh V sebagai ruang vektor, misalnya sifat komutatif dan asosiatif penjumlahan, demikian halnya sifat-sifat perkalian skalar. Jadi, sebenarnya ada cara kedua (yang lebih singkat) untuk membuktikan bahwa W merupakan suatu subruang vektor dari V. Teorema berikut dapat digunakan sebagai cara lain untuk itu.

Teorema

Misalkan V suatu ruang vektor atas lapangan F dan W ⊆ V. W merupakan suatu subruang dari V jika dan hanya jika kedua kondisi berikut dipenuhi: a) Jika u, v ∊ W maka (u + v) ∊ W dan b) Jika k ∊ F dan u ∊ W maka ku ∊ W.

Dengan teorema tersebut, untuk membuktikan bahwa W merupakan subruang vektor dari V, cukup dibuktikan bahwa W tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V.

Contoh 3

Misalkan V = ℝ3 dan pada V didefinisikan operasi penjumlahan (u1,u2,u3) + (v,v2,v3) = (u1+v1,u2+v2,u3+v3) dan perkalian skalar k(u1,u2,u3) = (ku1,ku2,ku3). Misalkan W = {(x,y,z) ∊ ℝ3| y = x+z}. Apakah W merupakan subruang vektor dari V?

Misalkan u, v ∊ W sembarang dan u = (u1,u2,u3) dan v = (v1,v2,v3). Selanjutnya, u + v = (u1+v1,u2+v2,u3+v3). Karena u, v ∊ W, u2 = u1+u3 dan v2 = v1+v3 sehingga u + v = (u1+v1,(u1+u3)+(v1+v3),u3+v3) = (u1+v1,(u1+v1)+(u3+v3),u3+v3) ∊ W. Jadi, W tertutup terhadap penjumlahan yang didefinisikan pada V.

Misalkan k ∊ ℝ dan u ∊ W sembarang. Misalkan u = (u1,u2,u3). Selanjutnya, ku = (ku1,ku2,ku3). Karena u ∊ W, u2 = u1 + u3 sehingga ku = (ku1,k(u1+u3),ku3) = (ku1,ku1+ku3,ku3) ∊ W. Jadi, W tertutup terhadap perkalian skalar yang didefinisikan pada V.

Karena W tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar pada V, menurut teorema di atas, W merupakan subruang vektor dari V.

Latihan Soal

Misalkan V adalah himpunan semua matriks berordo 2×2 dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks pada umumnya:

Misalkan W adalah himpunan semua matriks berordo 2×2 yang semua unsurnya bilangan bulat dan U adalah himpunan semua matriks berordo 2×2 dalam bentuk delim{[}{matrix{2}{2}{a b c d}}{]} dengan a + d = 0. Apakah W merupakan subruang vektor dari V? Apakah U merupakan subruang vektor dari V? Buktikan!

 

Tagging:

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *