ROTASI PARABOLA

Oktober 11th, 2016

Diketahui sebuah parabola dengan persamaan 9x² – 24 xy + 16 y² – 110x – 270y + 725 = 0. Berapakah koordinat titik puncak parabola ini? Berapakah koordinat titik fokus parabola ini? Bagaimana persamaan garis direktriksnya?

Parabola yang persamaannya memiliki bentuk a₁₁x² + 2a₁₂ xy + a₂₂ y² + 2a₁₃ x + 2a₂₃ y + a₃₃ = 0 seperti di atas semula berasal dari parabola yang sumbu simetrinya berimpit dengan salah satu sumbu koordinat dan puncaknya melalui O(0,0), yang kemudian mengalami translasi dan rotasi dengan sudut rotasi tertentu. Ketiga pertanyaan di atas dapat dijawab apabila kita mengetahui persamaan awal parabola itu, yang berbentuk y² = 4px (yaitu bentuk kanonik parabola)

Berikut ini adalah langkah-langkah untuk mengetahui bentuk kanonik parabola tersebut.

Nyatakan persamaan yang dipersoalkan ke dalam bentuk a₁₁x² + 2a₁₂ xy + a₂₂ y² + 2a₁₃ x + 2a₂₃ y + a₃₃ = 0 ……………………………. (*)
Tentukan besarnya nilai tangen dari sudut rotasi (φ) yang telah dialami parabola tersebut dengan rumus: [pmath]tan {2 varphi} ~=~ {2a_{12}}/{a_{11} ~-~ a_{22}}[/pmath]. Selanjutnya, dengan rumus sudut ganda [pmath]tan {2 varphi} ~=~ {2 tan {varphi}}/{1 ~-~ {tan}^2 {varphi}}[/pmath] akan diperoleh suatu persamaan kuadrat dalam tan φ. Untuk memilih nilai tan φ mana yang digunakan selanjutnya, pilihlah nilai tan φ = m yang memenuhi persamaan: a₁₁ + 2a₁₂m + a₂₂m² = 0 [diskriminan persamaan ini pasti bernilai nol apabila a₁₁x² + 2a₁₂ xy + a₂₂ y² + 2a₁₃ x + 2a₂₃ y + a₃₃ = 0 sungguh merupakan persamaan parabola].
Berdasar pada nilai tan φ yang dipilih pada langkah sebelumnya, tentukan nilai sin φ dan cos φ, kemudian substitusikan x = x’ cos φ – y’ sin φ dan y = x’ sin φ + y’ cos φ ke dalam persamaan (*). Dengan melenyapkan tanda aksen pada persamaan yang terbentuk, persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk (y – β)² = 4p(x – α). Koordinat puncak parabola ini adalah (α,β).
Substitusikan y = y’ + β dan x = x’ + α ke dalam persamaan yang terbentuk pada Langkah 3. Hasil substitusi ini, setelah menghilangkan tanda aksen, adalah dalam bentuk y² = 4px.

Kembali ke persoalan di awal post ini, kita akan menghitung koordinat puncak, persamaan garis direktriks, dan koordinat titik fokus parabola 9x² – 24 xy + 16 y² – 110x – 270y + 725 = 0.

Langkah 1

Persamaan parabola tersebut dapat dinyatakan sebagai:

9 x² + 2(-12) xy + 16 y² + 2(-55) x + 2(-135) y + 725 = 0 …………………………………………….. (1)

Dalam hal ini, a₁₁ = 9, a₁₂ = -12, a₂₂ = 16, a₁₃ = -55, a₂₃ = -135, a₃₃ = 725.

Parabola ini digambarkan sebagai berikut.

rotasi_parabol_2

Gambar 1

Langkah 2

[pmath]tan {2 varphi} ~=~ {2a_{12}}/{a_{11} ~-~ a_{22}} ~=~ {2(-12)}/{9 ~-~ 16} ~=~ {24}/7[/pmath].

[pmath]{2 tan {varphi}}/{1~-~ {tan}^2 {varphi}} ~=~ {24}/7[/pmath]

[pmath]12 {tan}^2 {varphi} ~+~ 7 tan {varphi} ~-~ 12 ~=~ 0[/pmath]

Dari persamaan kuadrat ini terdapat dua nilai tan φ yang mungkin, yaitu tan φ = ¾ atau tan φ = -4/3. Pilihlah nilai tan φ = m yang memenuhi 9 + 2(-12)m + 16m² = 0 atau 16m² – 24m + 9 = 0. Yang memenuhi ternyata adalah m = tan φ = ¾. Jadi, kita pilih tan φ = ¾.

Langkah 3

Karena tan φ = ¾, sin φ = ⅗ dan cos φ = ⅘. Kemudian, substitusikan x = ⅘x’ – ⅗y’ dan y = ⅗x’ + ⅘y’ ke dalam (1). Dengan manipulasi aljabar dan setelah menghilangkan tanda aksen pada persamaan yang terbentuk, diperoleh persamaan:

y² – 10x – 6y + 29 = 0

(y – 3)² = 10(x – 2) ……………………………………………………….. (2)

Dari sini diperoleh α = 2 dan β = 3. Koordinat puncak parabola ini adalah (2,3). Parabola ini dapat dilihat pada Gambar 2.

rotasi_parabol_3

Gambar 2

Langkah 4

Substitusikan x = x’ + 2 dan y = y’ + 3 ke dalam (2). Setelah menghilangkan tanda aksen akan diperoleh persamaan parabola yang sumbu simetrinya berimpit dengan sumbu x. Persamaan parabola tersebut adalah y² = 10x. Parabola ini (lengkap dengan titik fokus F dan garis direktriksnya) dapat dilihat pada Gambar 3.

parabol_kanonik

Gambar 3

Seperti diketahui, parabola dengan persamaan y² = 4px memiliki titik fokus yang berkoordinat (p,0) dan persamaan garis direktriks x = – p. Jadi, parabola pada kasus ini memiliki titik fokus F(2½,0) dan garis direktriks dengan persamaan x = -2½.

Berpangkal dari sini, kita dapat menelusuri secara bertahap hingga diperoleh koordinat titik puncak, koordinat titik fokus, dan persamaan garis direktriks parabola yang menjadi pokok masalah.

Dari (2) pada Langkah 3, kita dapat menyimpulkan bahwa kurva mengalami translasi 2 satuan ke kanan dan 3 satuan ke atas. Secara matematis, absis dan ordinat hasil translasi (yaitu x’ dan y’) dapat dinyatakan sebagai x’ = x + 2 dan y’ = y + 3.

Titik puncak (0,0) bergeser sehingga puncak yang baru berkoordinat (0+2,0+3) ≡ (2,3).

Titik fokus F(2½,0) bergeser sehingga titik fokus yang baru berkoordinat (2½+2,0+3) ≡ (4½,3)

Garis direktriks yang semula memiliki persamaan x = -2½ bergeser sehingga persamaan garis direktriks yang baru adalah x = -2½ + 2 = -½. (Lihat Gambar 4.)

rotasi_parabol_4

Gambar 4

Parabola pada Gambar 4 di atas kemudian dirotasikan dengan sudut rotasi φ dengan tan φ = ¾. Matriks rotasi yang bersesuaian dengan rotasi ini adalah:

Koordinat titik puncak dan titik fokus yang baru dapat dihitung dengan perkalian matriks sebagai berikut:

matriks_rp_fo

Dari hasil perkalian matriks tersebut, diperoleh koordinat puncak parabola yang baru yaitu (-⅕,3⅗) dan koordinat titik fokus yang baru yaitu (1 ⅘,5 ¹/₁₀).

Untuk mencari persamaan garis direktriks yang baru, pilih dua titik sembarang pada garis direktriks yang lama. Misalkan kedua titik itu berkoordinat masing-masing (-½,0) dan (-½,1). Gunakan lagi matriks rotasi tersebut untuk mendapatkan koordinat titik-titik hasil rotasi, sebagai berikut:

matriks_rp_dir

Dari hasil perkalian matriks tersebut, diperoleh bahwa garis direktriks yang baru melalui (-⅖,-³/₁₀) dan (-1,½). Persamaan garis yang melalui kedua titik ini dapat ditentukan, yaitu [pmath]y ~=~ – {4/3} x ~-~ 5/6[/pmath]. (Lihat Gambar 5.)

rotasi_parabol_5