ROTASI DAN TRANSLASI HIPERBOLA

November 4th, 2016

hiperbol_2

Kita mengetahui bahwa hiperbola yang berpusat di O (titik pangkal koordinat) memiliki persamaan: {x^2}/{a^2} ~-~ {y^2}/{b^2} ~=~ 1 …………………………………………………………. (1)

atau

{y^2}/{a^2} ~-~ {x^2}/{b^2} ~=~ 1 …………………………………………………………… (1a)

Jika hiperbola tersebut diputar/dirotasikan dengan sudut tertentu dengan pusat rotasi O dan kemudian ditranslasikan pada bidang koordinat tersebut, hiperbola yang terbentuk setelah translasi tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk:

a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0 …………………………………… (2)

Pertanyaannya sekarang adalah bagaimana “mengembalikan” bentuk (2) menjadi bentuk semula (1) atau (1a)? Misalnya, jika diketahui suatu hiperbola hasil rotasi disusul dengan translasi dengan persamaan x2 – 6xy + y2 + 2x + 2y + 1 = 0, bagaimana persamaan hiperbola semula sebelum mengalami kedua macam transformasi tersebut?

 

Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut.

  1. Mencari koordinat pusat hiperbola setelah translasi, yaitu pusat hiperbola yang persamaannya diketahui, yaitu persamaan (2). Ini dilakukan dengan mencari penyelesaian bagi sistem persamaan linier berikut.

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{a_{11} alpha + a_{12} beta + a_{13} ~=~ 0} {a_{12} alpha + a_{22} beta + a_{23} ~=~ 0}}}{ }

dengan (α,β) adalah koordinat pusat hiperbola yang dicari.

  1. Menentukan persamaan hiperbola setelah rotasi namun sebelum (Ingat bahwa persamaan hiperbola yang diketahui adalah hasil dua transformasi berturutan, yaitu rotasi dulu, kemudian translasi). Ini dilakukan dengan cara mensubstitusikan x = x’ + α dan y = y’ + β ke dalam (2). Pada tahap ini, koefisien x dan y pada (2) akan “hilang” (menjadi nol) dengan sendirinya. Persamaan yang tersisa memiliki bentuk umum (dengan menghilangkan tanda aksen) a11x2 + 2a12xy + a22y2 + k = 0. Jadi, persamaan yang terbentuk adalah persamaan hiperbola sesudah rotasi, namun sebelum translasi.
  2. Menentukan persamaan hiperbola yang semula, sebelum mengalami rotasi dan kemudian translasi. Hiperbola ini berpusat di titik pangkal koordinat dan kedua sumbu simetrinya berimpit dengan sumbu-sumbu koordinat. Pertama, gunakan rumus berikut untuk menentukan tan 2φ, dengan φ adalah besarnya sudut rotasi yang besarnya tidak diketahui.

tan{2 varphi} ~=~ {2a_{12}}/{a_{11} ~-~ a_{22}} ………………………………… (*)

Setelah nilai tan 2φ ini dihitung, hitunglah nilai tan φ dengan rumus:

tan{2 varphi} ~=~ {2 tan{varphi}}/{1 ~-~ tan^2 {varphi}}

Setelah nilai tan φ dihitung,tentu nilai sin φ dan cos φ dapat dengan mudah dihitung. Kemudian substitusikan x = x’ cos φ – y’ sin φ dan y = x’ sin φ + y’ cos φ ke dalam a11x2 + 2a12xy + a22y2 + k = 0 yang telah didapat pada langkah sebelumnya. Dengan teknik manipulasi aljabar, persamaan yang tadi (setelah menghilangkan tanda aksen) dapat dinyatakan dalam bentuk (1) sebagaimana yang diminta.

 

Sekarang kita coba terapkan ketiga langkah di atas untuk menjawab pertanyaan di awal post ini, yaitu bagaimana “mengembalikan” persamaan hiperbola x2 – 6xy + y2 + 2x + 2y + 1 = 0 ke dalam keadaan awal, sebelum hiperbola mengalami rotasi dan kemudian translasi. Persamaan ini dapat dinyatakan dalam bentuk (2) sebagai berikut.

x2 + 2(-3) xy + y2 + 2.1 x + 2.1 y + 1 = 0

Jadi dalam contoh ini, a11 = 1, a12 = -3, a22 = 1, a13 = 1, a23 = 1, dan a33 = 1.

Langkah 1

Selesaikan sistem persamaan linier

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{alpha - 3 beta + 1 ~=~ 0} {-3 alpha + beta + 1 ~=~ 0}}}{ }

dan diperoleh α = ½ dan β = ½. Jadi, pusat hiperbola ini berkoordinat (½,½).

Saat ini, kondisi hiperbola dapat dilihat pada Gambar 1 berikut.

hiperbol_1

Gambar 1

 

Langkah 2

Substitusikan x = x’ + ½ dan y = y’ + ½ ke dalam persamaan hiperbola yang diketahui: x2 – 6xy + y2 + 2x + 2y + 1 = 0.

(x + ½)2 – 6(x + ½)(y + ½) + (y + ½)2 + 2(x + ½) + 2(y + ½) + 1 = 0

Setelah tanda-tanda aksen dihilangkan, diperoleh persamaan hiperbola setelah rotasi namun sebelum translasi:

x2 – 6 xy + y2 + 2 = 0

Kini, posisi hiperbola seperti pada Gambar 2 berikut.

hiperbol_2

Gambar 2

Langkah 3

Karena a11 = a22, rumus (*) tidak dapat digunakan. Namun perhatikan bahwa:

cot{2 varphi} ~=~ {a_{11} ~-~ a_{22}}/{2 a_{12}}

Setelah mensubstitusikan a11 = 1 dan a22 = 1, diperoleh bahwa cot 2φ = 0

Karena cot {2 varphi} ~=~ {1 ~-~ tan^2 {varphi}}/{2 tan {varphi}}, cot 2φ = 0 mengakibatkan tan φ = 1 atau tan φ = -1 (dua-duanya boleh digunakan). Misalnya kita gunakan tan φ = 1. Dengan demikian, sin φ = cos φ = ½√2. Setelah itu, substitusikan x = ½√2 x’ – ½√2 y’ dan y = ½√2 x’ + ½√2 y’ ke dalam x2 – 6 xy + y2 + 2 = 0 (hasil pada Langkah 2):

(½√2 x’ – ½√2 y’)2 – 6(½√2 x’ – ½√2 y’)(½√2 x’ + ½√2 y’) + (½√2 x’ + ½√2 y’)2 + 2 = 0

Dengan teknik manipulasi aljabar, persamaan yang tadi (setelah menghilangkan tanda aksen) dapat dinyatakan sebagai:

x2 – 2 y2 = 1

atau {x^2}/1 ~-~ {y^2}/{1/2} ~=~ 1

Jadi, keadaan hiperbola sebelum dilakukannya kedua transformasi tersebut adalah seperti pada Gambar 3 berikut.

hiperbol_3

Gambar 3

 

Lihat juga materi serupa ini:

Rotasi Hiperbola Ortogonal

Rotasi dan Translasi Elips

Translasi dan Rotasi Parabola

Rotasi Garis dengan Persamaan Normal Hesse

Tagging: ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *