ROTASI DAN TRANSLASI ELIPS

Oktober 4th, 2016

elips_1

 

Kita mengetahui bahwa elips yang berpusat di O (titik pangkal koordinat) memiliki persamaan: {x^2}/{a^2} ~+ {y^2}/{b^2} ~=~ 1 …………………………………………………………… (1)

Jika elips tersebut diputar/dirotasikan dengan sudut tertentu dengan pusat rotasi O dan kemudian ditranslasikan pada bidang koordinat tersebut, elips yang terbentuk setelah translasi tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk:

a11 x2 + 2a12 xy + a22 y2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0 …………………………… (2)

Pertanyaannya sekarang adalah bagaimana “mengembalikan” bentuk (2) menjadi bentuk semula (1)? Misalnya, jika diketahui suatu elips hasil rotasi disusul dengan translasi dengan persamaan 73x2 + 72xy + 52y2 – 510x – 320y + 825 = 0 bagaimana persamaan elips semula sebelum mengalami kedua macam transformasi tersebut?

 

Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut.

  1. Mencari koordinat pusat elips setelah translasi, yaitu pusat elips yang persamaannya diketahui, yaitu persamaan (2). Ini dilakukan dengan mencari penyelesaian bagi sistem persamaan linier berikut.

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{a_{11} alpha + a_{12} beta + a_{13} ~=~ 0} {a_{12} alpha + a_{22} beta + a_{23} ~=~ 0}}}{}

dengan (α,β) adalah koordinat pusat elips yang dicari.

  1. Menentukan persamaan elips setelah rotasi namun sebelum (Ingat bahwa persamaan elips yang diketahui adalah hasil dua transformasi berturutan, yaitu rotasi dulu, kemudian translasi). Ini dilakukan dengan cara mensubstitusikan x = x’ + α dan y = y’ + β ke dalam (2). Pada tahap ini, koefisien x dan y pada (2) akan “hilang” (menjadi nol) dengan sendirinya. Persamaan yang tersisa memiliki bentuk umum (dengan menghilangkan tanda aksen) a11x2 + 2a12xy + a22y2 + k = 0. Jadi, persamaan yang terbentuk adalah persamaan elips sesuah rotasi, namun sebelum translasi.
  2. Menentukan persamaan elips yang semula, sebelum mengalami rotasi dan kemudian translasi. Elips ini berpusat di titik pangkal koordinat dan kedua sumbu simetrinya berimpit dengan sumbu-sumbu koordinat. Pertama, gunakan rumus berikut untuk menentukan tan 2φ, dengan φ adalah besarnya sudut rotasi yang besarnya tidak diketahui.

tan{2 varphi} ~=~ {2a_{12}}/{a_{11} ~-~ a_{22}}

Setelah nilai tan 2φ ini dihitung, hitunglah nilai tan φ dengan rumus:

tan{2 varphi} ~=~ {2 tan{varphi}}/{1 ~-~ tan^2 {varphi}}

Setelah nilai tan φ dihitung,tentu nilai sin φ dan cos φ dapat dengan mudah dihitung. Kemudian substitusikan x = x’ cos φ – y’ sin φ dan y = x’ sin φ + y’ cos φ ke dalam a11x2 + 2a12xy + a22y2 + k = 0 yang telah didapat pada langkah sebelumnya. Dengan teknik manipulasi aljabar, persamaan yang tadi (setelah menghilangkan tanda aksen) dapat dinyatakan dalam bentuk (1) sebagaimana yang diminta.

 

Sekarang kita coba terapkan ketiga langkah di atas untuk menjawab pertanyaan di awal post ini, yaitu bagaimana “mengembalikan” persamaan elips 73x2 + 72xy + 52y2 – 510x – 320y + 825 = 0 ke dalam keadaan awal, sebelum elips mengalami rotasi dan kemudian translasi. Persamaan ini dapat dinyatakan dalam bentuk (2) sebagai berikut.

73 x2 + 2.36 xy + 52 y2 – 2.255 x – 2.160 y + 825 = 0

Jadi dalam contoh ini, a11 = 73, a12 = 36, a22 = 52, a13 = -255, a23 = -160, dan a33 = 825.

 

Langkah 1

Selesaikan sistem persamaan linier

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{73 alpha + 36 beta - 255 ~=~ 0} {36 alpha + 52 beta - 160 ~=~ 0}}}{ }

dan diperoleh α = 3 dan β = 1. Jadi, pusat elips ini berkoordinat (3,1).

Saat ini, kondisi elips dapat dilihat pada Gambar 1 berikut.

elips_1

Gambar 1

 

Langkah 2

Substitusikan x = x’ + 3 dan y = y’ + 1 ke dalam persamaan elips yang diketahui: 73x2 + 72xy + 52y2 – 510x – 320y + 825 = 0.

73 (x’+3)2 + 72 (x’+3)(y’+1) + 52 (y’+1)2 – 510(x’+3) – 320(y’+1) + 825 = 0

Setelah tanda-tanda aksen dihilangkan, diperoleh persamaan elips setelah rotasi namun sebelum translasi:

73 x2 + 72 xy + 52 y2 – 100 = 0

Kini, posisi elips seperti pada Gambar 2 berikut.

elips_2

Gambar 2

Langkah 3

tan{2 varphi} ~=~ {2.36}/{73 ~-~ 52} ~=~ {24}/7

Gunakan rumus sudut ganda tan 2φ, untuk mencari tan φ:

{24}/7 ~=~ {2 tan{varphi}}/{1 ~-~ tan^2 {varphi}}

Hasil ini merupakan suatu persamaan kuadrat dalam tan φ sebagai berikut:

12 tan2 φ + 7 tan φ – 12 = 0

Ini memberikan dua hasil, yaitu tan φ = ¾ atau tan φ = -4/3 (dua-duanya boleh digunakan). Misalnya kita gunakan tan φ = ¾. Dengan demikian, sin φ = 0,6 dan cos φ = 0,8. Setelah itu, substitusikan x = 0,8 x’ – 0,6 y’ dan y = 0,6 x’ + 0,8 y’ ke dalam 73 x2 + 72 xy + 52 y2 – 100 = 0 (hasil pada Langkah 2):

73 (0,8 x’ – 0,6 y’)2 + 72 (0,8 x’ – 0,6 y’)(0,6 x’ + 0,8 y’) + 52 (0,6 x’ + 0,8 y’)2 – 100 = 0

Dengan teknik manipulasi aljabar, persamaan yang tadi (setelah menghilangkan tanda aksen) dapat dinyatakan sebagai:

x^2 ~+~ {y^2}/4 ~=~ 1

Jadi, keadaan elips sebelum dilakukannya kedua transformasi tersebut adalah seperti pada Gambar 3 berikut.

elips_3

Gambar 3

 

Lihat juga post lain serupa ini:

Rotasi dan Translasi Hiperbola

Rotasi Hiperbola Ortogonal

Translasi dan Rotasi Parabola

Rotasi Garis dengan Persamaan Normal Hesse

Tagging: , ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *