MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DENGAN ATURAN CRAMER

Oktober 29th, 2016

Tipot_01

 

 

Di post saya yang lalu telah diuraikan bagaimana menyelesaikan suatu sistem persamaan linier dengan k buah anu dengan teknik eliminasi dan substitusi/penggantian. Kali ini akan diterangkan cara lain menyelesaikan hal serupa menggunakan Aturan Cramer (Cramer’s Rule).

 

Misalkan diketahui sistem persamaan linier sebagai berikut.

spl

Yang ditanyakan adalah nilai-nilai x1, x2, …, xk yang memenuhi k buah persamaan tersebut secara simultan.

 

Misalkan D adalah matriks (aij); aij adalah koefisien xj pada persamaan ke-i:

matriks_d_spl

Definisikan Dj (j = 1, 2, …, k) sebagai suatu matriks yang diperoleh dengan cara menggantikan aij pada D dengan bi. Jadi:

matriks_dj

Pada Dj, delim{[}{matrix{4}{1}{{b_{1}} {b_{2}} {vdots} {b_{k}}}}{]} merupakan kolom ke-j.

Dengan pendefinisian tersebut, x1, x2, …, xk dapat ditentukan dengan rumus:

x_{j} ~=~ {delim{|}{D_{j}}{|}}/{delim{|}{D}{|}} ; j = 1, 2, 3, …, k

dengan |Dj| menyatakan determinan matriks Dj dan |D| menyatakan determinan matriks D.

Catatan: Penentuan nilai x1, x2, …, xk dengan cara ini dinamakan Aturan Cramer.

 

(Cara menghitung determinan matriks akan diuraikan kemudian dalam post saya yang lain. Pada tulisan kali ini, dianggap Anda sudah bisa menghitung determinan matriks.)

 

Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linier berikut ini.

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{3x ~-~ 5y ~=~ 1} {-2x ~+~ 7y ~=~ 3}}}{ }

 

Jawab:

Dengan memisalkan x = x1 dan y = x2, sistem persamaan tersebut dapat dinyatakan kembali sebagai:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{3x_{1} ~-~ 5x_{2} ~=~ 1} {-2x_{1} ~+~ 7x_{2} ~=~ 3}}}{ }

Pada contoh ini,

D ~=~ delim{[}{matrix{2}{2}{3 {-5} {-2} 7}}{]}

delim{[}{matrix{2}{1}{{b_{1}} {b_{2}}}}{]} ~=~ delim{[}{matrix{2}{1}{1 3}}{]}

D_{1} ~=~ delim{[}{matrix{2}{2}{1 {-5} 3 7}}{]}

D_{2} ~=~ delim{[}{matrix{2}{2}{3 1 {-2} 3}}{]}

Hitunglah masing-masing determinan ketiga matriks tersebut:

|D| = 3.7 – (-5)(-2) = 11.

|D1| = 1.7 – (-5).3 = 22.

|D2| = 3.3 – 1.(-2) = 11.

x_{1} ~=~ {delim{|}{D_{1}}{|}}/{delim{|}{D}{|}} ~=~ 22/11 ~=~ 2

x_{2} ~=~ {delim{|}{D_{2}}{|}}/{delim{|}{D}{|}} ~=~ 11/11 ~=~ 1

Jadi, penyelesaian untuk sistem persamaan ini adalah x = x1 = 2 dan y = x2 = 1 dan himpunan penyelesaiannya adalah {(2,1)}.

 

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linier berikut ini.

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{3x ~-~ 5y ~+~ 2z ~=~ 3} {2x ~+~ 3y ~-~ 4z ~=~ 3} {4x ~-~ 5y ~-~ 3z ~=~ 0}}}{ }

 

Jawab:

Dengan memisalkan x = x1, y = x2, dan z = x3, sistem persamaan tersebut dapat dinyatakan kembali sebagai:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{3x_{1} ~-~ 5x_{2} ~+~ 2x_{3} ~=~ 3} {2x_{1} ~+~ 3x_{2} ~-~ 4x_{3} ~=~ 3} {4x_{1} ~-~ 5x_{2} ~-~ 3x_{3} ~=~ 0}}}{ }

Pada contoh ini,

D ~=~ delim{[}{matrix{3}{3}{3 {-5} 2 2 3 {-4} 4 {-5} {-3}}}{]}

delim{[}{matrix{3}{1}{{b_{1}} {b_{2}} {b_{3}}}}{]} ~=~ delim{[}{matrix{3}{1}{3 3 0}}{]}

D_{1} ~=~ delim{[}{matrix{3}{3}{3 {-5} 2 3 3 {-4} 0 {-5} {-3}}}{]}

D_{2} ~=~ delim{[}{matrix{3}{3}{3 3 2 2 3 {-4} 4 0 {-3}}}{]}

D_{3} ~=~ delim{[}{matrix{3}{3}{3 {-5} 3 2 3 3 4 {-5} 0}}{]}

Hitunglah masing-masing determinan ketiga matriks tersebut:

|D| = – 81

|D1| = -162

|D2| = -81

|D3| = -81

x_{1} ~=~ {delim{|}{D_{1}}{|}}/{delim{|}{D}{|}} ~=~ {-162}/{-81} ~=~ 2

x_{2} ~=~ {delim{|}{D_{2}}{|}}/{delim{|}{D}{|}} ~=~ {-81}/{-81} ~=~ 1

x_{3} ~=~ {delim{|}{D_{3}}{|}}/{delim{|}{D}{|}} ~=~ {-81}/{-81} ~=~ 1

Jadi, penyelesaian untuk sistem persamaan ini adalah x = x1 = 2, y = x2 = 1, z = x3 = 1. Himpunan penyelesaiannya adalah {(2,1,1)}. [Bandingkan hasil ini dengan hasil pada post saya yang lalu.}

 

Sebenarnya masih ada cara lain menyelesaikan sistem persamaan linier menggunakan matriks, yaitu yang disebut dengan metode eliminasi Gauss-Jordan. Mengenai ini akan dibahas pada post saya yang lain.

 

Terima kasih atas kunjungan Anda ke website ini. Untuk kepuasan Anda, Anda dapat mengajukan permintaan materi untuk dimuat di edscyclopedia.com. Kirim permintaan tersebut melalui e-mail ke sondakh.edu@google.com.

Tagging: ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *