TEKNIK PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER

Oktober 28th, 2016

Tipot_01

Sistem persamaan linier dengan k buah nilai yang tak diketahui (k buah anu, unknown) memiliki bentuk umum:                        ⦙

spl

 

Contoh sistem persamaan linier dengan 2 buah anu, misalnya:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{3x ~-~ 5y ~=~ 1} {2x ~+~ 3y ~=~ 7}}}{ }

atau

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{3x_{1} ~-~ 5x_{2} ~=~ 1} {2x_{1} ~+ ~3x_{2} ~=~ 7}}}{ }

 

Sistem persamaan linier dengan 2 anu ini mudah diselesaikan dengan teknik eliminasi atau substitusi.

 

TEKNIK ELIMINASI

Teknik eliminasi pada dasarnya mengurangi banyaknya anu secara bertahap, satu demi satu. Dengan semakin banyak anu, teknik eliminasi ini semakin berkurang kepraktisannya.

 

Contoh 1

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{3x ~-~ 5y ~+~ 2z~=~ 3} {2x ~+~ 3y ~-~ 4z ~=~ 3} {4x ~-~ 5y ~-~ 3z ~=~ 0}}}{ }

 

Jawab:

Untuk memudahkan pembahasan, masing-masing persamaan dalam sistem tersebut dinomori:

3x – 5y + 2z = 3     …………………………………………………. (1)

2x + 3y – 4z = 3     …………………………………………………. (2)

4x – 5y – 3z = 0   ………………………………………………….. (3)

Pilihlah salah satu anu yang akan dieliminasi pertama kali. Misalnya kita akan mengeliminasi z. Kalikan persamaan (1) dengan 2; jumlahkan hasil tersebut dengan (2):

2(1) …………………………. 6x – 10y + 4z = 6

(2)   …………………………. 2x + 3y  – 4z = 3 +

8x – 7y         = 9   ……………….. (4)

Untuk menentukan nilai x dan y, kita memerlukan sebuah persamaan lagi dalam x dan y. Karena itu kita eliminasikan lagi z dari pasangan persamaan yang lain, sehingga muncul lagi sebuah persamaan dalam x dan y. Kalikan persamaan (1) dengan 3 dan kalikan persamaan (3) dengan 2. Setelah itu jumlahkan hasil-hasil tersebut:

3(1) ………………………… 9x – 15y + 6z = 9

2(3) ………………………… 8x – 10y – 6z = 0 +

17x – 25y      = 9   ………………… (5)

Perhatikan bahwa banyaknya anu telah berkurang; semula terdapat 3 anu yaitu x, y, dan z. Setelah mengeliminasi z sebagaimana diuraikan di atas, sekarang tersisa 2 anu lagi, yaitu x dan y. Untuk menentukan nilai x, kita eliminasikan y dengan cara mengalikan (4) dengan 25 dan mengalikan (5) dengan -7. Setelah itu jumlahkan hasil-hasil tersebut:

25(4) ……………………… 200x – 175y = 225

-7(5) …………………….. -119x + 175y = -63 +

81x           = 162

x = 2

Substitusikan hasil x = 2 ini ke dalam (5) atau (4), akan diperoleh y = 1. Kemudian, substitusikan x = 2 dan y = 1 ini ke dalam (1), (2), atau (3), akan diperoleh z = 1. Jadi, penyelesaian bagi sistem persamaan ini adalah x = 2, y = z = 1.

 

CARA SUBSTITUSI/PENGGANTIAN

Pada prinsipnya, cara substitusi pun mengurangi banyaknya anu secara bertahap. Seperti halnya teknik eliminasi, cara substitusi berkurang kepraktisannya seiring dengan semakin banyaknya anu.

 

Contoh 2

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{2x ~-~ 2y ~+~ z~=~ -3} {3x ~+~ 3y ~-~ 4z ~=~ 2} {4x ~+~ 5y ~-~ 3z ~=~ 7}}}{ }

 

Jawab:

Untuk memudahkan pembahasan, masing-masing persamaan dalam sistem tersebut dinomori:

2x – 2y + z   = -3   ……………………………………………………………….. (1)

3x + 3y – 4z = 2   ……………………………………………………………….. (2)

4x + 5y – 3z = 7   ……………………………………………………………….. (3)

Pilih salah satu di antara x, y, atau z yang akan digantikan. Pada dasarnya pemilihan tersebut dilakukan secara bebas, namun pada contoh ini, untuk kemudahan teknis perhitungan, kita pilih z untuk digantikan, karena koefisien z pada (1) adalah 1.

Persamaan (1) dapat dinyatakan sebagai:

z = -2x + 2y – 3           …………………………………………………………… (1*)

Substitusikan/gantikan z pada (2) dan (3) sehingga (2) dan (3) dapat dinyatakan (secara berturutan), sebagai:

(2a) ……………………. 3x + 3y – 4(-2x + 2y – 3) = 2

(3a) ……………………. 4x + 5y – 3(-2x + 2y – 3) = 7

Selanjutnya, (2a) dan (3a) dapat dinyatakan (secara berturutan) sebagai:

(2b) …………………… 11x – 5y = -10

(3b) …………………… 10x – y   = -2

Sekarang tersisa dua anu lagi, yaitu x dan y. Kita pilih satu lagi anu yang akan digantikan. Bisa sembarang di antara x atau y. Tetapi untuk kemudahan, kita pilih y untuk digantikan. Dari (3b) kita peroleh:

y = 10x + 2       ………………………………………………………………….. (3c)

Substitusikan y = 10x + 2 ke dalam (2b), diperoleh:

11x – 5(10x + 2) = -10

-39x = 0

x = 0   ……………………………………………………………………………. (+)

Substitusikan x = 0 ke dalam (3c), diperoleh:

y = 10.0 + 2

y = 2   …………………………………………………………………………….. (++)

Substitusikan x = 0 dan y = 2 ke dalam (1*), diperoleh:

z = -2.0 + 2.2 – 3

z = 1   …………………………………………………………………………….. (+++)

Dari (+), (++), dan (+++) diperoleh penyelesaian bagi soal ini adalah x = 0, y = 2, dan z = 1.

 

Pelajari pula teknik lain, yaitu dengan:

Aturan Cramer

Cara analitik

 

Tagging: , ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *