MENGENAL BARISAN ARITMETIKA (2)

November 18th, 2016

171120166027


Di post saya sebelumnya, saya telah memperkenalkan barisan aritmetika (arithmetic sequence). Kali ini saya akan memperkenalkan deret aritmetika (arithmetic series).

 

Misalkan u1, u2, u3, …, un, … adalah suatu barisan. Dari barisan ini kita dapat membentuk barisan lain, s1, s2, s3, s4, …, sn, … dengan:

s1 = u1

s2 = u1 + u2

s3 = u1 + u2 + u3, dan seterusnya.

Jadi, sn = u1 + u2 + u3 + … + un.

Dengan kata lain, s_{n} ~=~ sum{i=1}{n}{u_{i}}.

sn merupakan jumlah n suku pertama dari barisan u1, u2, u3, …, un, …

 

Sebagai contoh, perhatikan barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14, … Pada barisan ini, u1 = 2, u2 = 5, u3 = 8, dan seterusnya. Secara umum, un = 2 + (n – 1).3 = 3n – 1. Dari barisan ini kita dapat membentuk barisan lain s1, s2, s3, …, sn, … dengan

s1 = u1 = 2

s2 = u1 + u2 = 2 + 5 = 7

s3 = u1 + u2 + u3 = 2 + 5 + 8 = 15

s4 = u+ u2 + u3 + u4 = 2 + 5 + 8 + 11 = 26, dan seterusnya

Jadi sekarang kita memiliki barisan baru: 2, 7, 15, 26, …, sn, …

Jika u1, u2, u3, …, un, … merupakan suatu barisan aritmetika maka berlaku:

s_{n} ~=~ 1/2 n (a ~+~ u_{n})    ………………………………………………………………. (1)

s_{n} ~=~ {1/2} bn^2 ~+~ (a ~-~ 1/2 b)n …………………………………………… (2)

 

Catatan:

sn yang didefinisikan dengan cara di atas dinamakan jumlah parsial sampai dengan suku ke-n.

Barisan s1, s2, s3, … , sn, … dinamakan deret.

Jika u1, u2, u3, …, un, … merupakan barisan aritemetika maka s1, s2, s3, … , sn, … dinamakan deret aritmetika. Jadi, deret merupan barisan jumlah parsial.

 

Contoh 1

Hitunglah jumlah 100 suku pertama dari barisan 2, 5, 8, 11, 14, …

 

Jawab:

Barisan tersebut merupakan barisan aritmetika dengan suku awal 2 dan beda 3. Jadi, a = 2 dan b = 3.

Yang ditanyakan soal ini adalah s100. Substitusikan a = 2, b = 3, dan n = 100 ke dalam (2), diperoleh:

contoh_1_sn

Jadi, jumlah 100 suku pertama barisan tersebut adalah 15050.

 

Contoh tersebut dapat pula dikerjakan menggunakan (1). Hitung terlebih dahulu un = a + (n – 1).b (lihat post saya sebelumnya). Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus un tersebut, diperoleh: u100 = 2 + (100 – 1).3 = 299. Jadi, yang diminta dalam soal ini adalah:

s100 = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + … + 299.

Dengan menggunakan rumus (1), diperoleh:

­contoh_1_cara_lain

 

Contoh 2

Hitunglah jumlah berikut: 135 + 131 + 127 + 123 + … + 75.

 

Jawab

Barisan 135, 131, 127, 123, … merupakan barisan aritmetika dengan suku awal a = 135 dan beda b = -4. Untuk mengetahui jumlah tersebut, kita perlu mengetahui terlebih dahulu suku keberapakah yang bernilai 75. Dengan kata lain, kita perlu mengetahui nilai n sedemikian hingga un = 75. Untuk menjawab ini, gunakan rumus un = a + (n – 1).b. Substitusikan a, b, dan un ke dalam rumus tersebut, diperoleh:

75 = 135 + (n – 1).(-4)

75 = 139 – 4n

Dari sini kita peroleh n = 16.

Jadi, yang ditanyakan soal ini adalah s16. Substitusikan a, u16, dan n ke dalam (1), diperoleh:

contoh_2_sn

Jadi, 135 + 131 + 127 + 123 + … + 75 = 1680.

 

Latihan Soal Barisan dan Deret Aritmetika: Latihan 1 

Materi lain yang berkenaan dengan barisan:

Barisan Geometri (Geometric Sequence)

 

Terima kasih atas kunjungan Anda ke website ini. Untuk kepuasan Anda, Anda dapat mengajukan permintaan materi untuk dimuat di edscyclopedia.com. Kirim permintaan tersebut melalui e-mail ke sondakh.edu@google.com.



Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *