MENGENAL BARISAN ARITMETIKA (1)

November 17th, 2016

171120166027

Perhatikan barisan-barisan bilangan berikut ini.

Barisan 1: 2, 5, 8, 11, 14, …

Barisan 2: 11, 16, 21, 26, 31, …

Barisan 3: 15, 13, 11, 9, 7, …

                Pada barisan pertama, suku pertama atau suku awalnya adalah 2, suku keduanya adalah 5, suku ketiganya adalah 8, dan seterusnya. Dalam matematika, suku ke-n suatu barisan bilangan biasa dilambangkan dengan un. Jadi, pada barisan pertama, u1 = 2, u2 = 5, u3 = 8, dan seterusnya. Perhatikan bahwa barisan 1 memiliki pola sebagai berikut: u2 = u1 + 3, u3 = u2 + 3, u4 = u3 + 3, dan seterusnya. Pada barisan ini berlaku un+1 = un + 3. Dengan kata lain, un+1 – un = 3. Pada barisan ini, selisih dua suku berturutan bersifat tetap/konstan, yaitu 3. Barisan bilangan nyata yang memiliki ciri selisih dua suku berturutannya tetap dinamakan barisan aritmetika. Jadi, secara umum, pada barisan aritmetika berlaku un+1 – un = b, dengan b merupakan suatu konstanta. Dalam barisan aritmetika, b dinamakan beda dari barisan aritmetika tersebut. Jadi, pada barisan pertama, b = 3. Selanjutnya, suku awal dari suatu barisan aritmetika (dilambangkan dengan a) adalah suku pertama barisan itu (yaitu u1). Jadi, pada barisan pertama ini, a = 2.

Barisan 2 pun merupakan suatu barisan aritmetika dengan suku awal 11 dan beda 5. Jadi, dalam barisan ini, a = 11 dan b = 5. Demikian pula dengan Barisan 3. Barisan ini merupakan barisan aritmetika dengan suku awal 15 dan beda -2. Jadi, dalam barisan ini a = 15 dan b = -2.

Pada Barisan 1, berapakah nilai suku ke-1001? Tentunya memerlukan waktu lama apabila kita menambahkan b = 3 dari satu suku ke suku berikutnya hingga tiba di suku ke-1001. Bagaimana rumus untuk menentukan nilai suku ke-n?

 

Rumus suku ke-n barisan aritmetika

un = a + (n – 1)b

dengan un = nilai suku ke-n barisan aritmetika

a = suku awal barisan (= u1)

n = nomor suku

 

Catatan:

Hati-hatilah dalam membedakan nilai suku ke-n, yaitu un, dengan nomor suku, yaitu n.

Pada Barisan 1, u3 = 8. Nilai suku ke-3 barisan ini adalah 8. Nomor suku dari 8 pada barisan ini adalah 3; dengan kata lain, 8 menempati urutan ke-3 dalam barisan ini.

 

Contoh 1

Tentukan nilai suku ke-45 pada barisan aritmetika 4, 7, 10, 13, 16, …

Suku keberapakah yang bernilai 304?

 

Jawab:

Pada contoh ini, a = 4 dan b = 3.

Untuk menentukan nilai suku ke-45, substitusikan n = 45 ke dalam rumus un di atas, diperoleh:

u45 = 4 + (45 – 1).3 = 4 + 44.3 = 4 + 132 = 136.

Jadi, nilai suku ke-45 adalah 136.

Untuk menentukan suku keberapa yang bernilai 304, kita misalkan un = 304.

Perhatikan bahwa un = 4 + (n-1).3 = 3n + 1

Selanjutnya, diperoleh 3n + 1 = 304 atau n = 101.

Jadi, yang bernilai 304 adalah suku ke-101.

 

Contoh 2

Ada berapa banyak bilangan asli kelipatan 3 yang nilainya lebih besar dari 10 namun kurang dari 1000?

 

Jawab:

Bilangan asli pertama yang kelipatan 3 dan lebih besar dari 10 adalah 12 dan bilangan asli terakhir yang nilainya kurang dari 1000 adalah 999.

Perhatikan barisan 12, 15, 18, 21, …, 999.

Pada barisan tersebut, a = 12 dan b = 3.

Untuk mengetahui nomor suku dari 999, kita misalkan un = 999.

Perhatikan bahwa un = a + (n – 1).b = 12 + (n – 1).3 = 3n + 9.

Selanjutnya diperoleh 3n + 9 = 999 dan n = 330.

Jadi, ada 330 buah bilangan asli yang nilainya lebih besar dari 10 namun kurang dari 1000.

 

(bersambung)



Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *