Apa arti relasi? Relasi bukan merupakan suatu kata asli bahasa Indonesia, melainkan berasal dari suatu kata dalam bahasa Inggris “relation”. Karena itu mari kita lihat apa arti kata relation dalam The Advanced Learner’s Dictionary of Current English. Terdapat beberapa arti, namun salah satu yang berkaitan dengan relasi yang dimaksudkan dalam tulisan ini adalah “what there is between one thing, person, idea, etc. and another or others”, sedangkan Roy Hollands dalam kamusnya, yaitu Kamus Matematika memberikan dua pengertian, yaitu 1) “suatu ikatan antara unsur-unsur atau anggota-anggota dari suatu kumpulan atau kumpulan-kumpulan” dan 2) “suatu kumpulan pasangan-pasangan teratur”. Dari definisi-definisi tersebut dapat kita simpulkan bahwa suatu relasi itu menghubungkan dua hal tertentu. Dalam matematika pun, relasi “kurang lebih” seperti itu. Dikatakan “kurang lebih” karena matematika memiliki definisi tersediri mengenai istilah “relasi”, tetapi ada kemiripan ciri dengan kedua definisi tadi.
Konsep relasi dalam matematika bagi sebagian orang barangkali terlalu sulit dibayangkan, padahal relasi itu sangat melekat dalam kehidupan kita sehari-hari. Perhatikan gambar yang disajikan di samping. Gambar tersebut merupakan cuplikan foto menu makanan di suatu restoran berikut dengan harganya per porsi. Dengan teori himpunan, daftar makanan dan harganya tersebut dapat dipandang merupakan “suatu relasi R1 dari himpunan A ke himpunan B”, dengan A = {Lele bakar, Gurame bakar, Ayam bakar, Bandeng bakar, Nasi, Teh panas, Es jeruk nipis, Kopi panas} dengan B = {Rp 7000, Rp 9000, Rp 17000, Rp 13000, Rp 1000, Rp 2000, Rp 2500, Rp 3000, Rp 4500}, R1 = {(Lele bakar,Rp 7000), (Gurame Bakar,Rp 17000), (Ayam bakar,Rp 9000), (Bandeng bakar,Rp 13000), (Nasi,Rp 1000)}. Dengan bahasa sehari-hari, A merupakan kumpulan makanan dan minuman yang tersedia, B adalah kumpulan harga, dan R1 adalah daftar harga masing-masing makanan. Dengan terdefinisinya R1, menjadi jelas berapa harga masing-masing makanan. Perhatikan bahwa setiap anggota R1 merupakan “pasangan berurut” (ordered pairs) dalam bentuk (x,y) di mana x adalah nama makanan (merupakan anggota A) dan y adalah harga makanan x (merupakan anggota B).
Kita juga dapat mengkonstruksi relasi R2 dari A ke B yang merupakan daftar harga minuman. Daftar harga minuman ini dapat dinyatakan dengan relasi R2 = {(Teh panas,Rp 2000), (Es jeruk nipis,Rp 2500), (Kopi panas,Rp 2500)}. Anggota R2-pun merupakan pasangan berurut dalam bentuk (x,y) di mana x adalah nama minuman (merupakan anggota A) dan y adalah harga minuman x (merupakan anggota B).
Bagaimana relasi R1 dan R2 tadi terbentuk? Sebelum relasi-relasi tersebut terbentuk, telah ada dua himpunan A (yaitu himpunan makanan dan minuman yang tersedia) dan himpunan B (yaitu himpunan harga. Kemudian kita mendefinisikan (x,y) ∊ R1 ⇔ “harga makananx adalah y” dan kita definisikan (x,y) ∊ R2 ⇔ “harga minumanx adalah y”.
Untuk mendefinisikan relasi secara formal, perlu dipahami dulu pengertian produk Kartesius (Cartesian Product) antara dua himpunan.
Produk Kartesius
Misalkan A dan B masing-masing himpunan. Produk Kartesius AxB didefinisikan sebagai berikut:
A x B = {(a,b) | a ∊ A, b ∊ B}
Contoh 1: (Produk Kartesius)
Jika A = {3, 7, 10} dan B = {0, 1} maka AxB = {(3,0), (3,1), (7,0), (7,1), (10,0), (10,1)} dan BxA = {(0,3), (0,7), (0,10), (1,3), (1,7), (1,10)}
Contoh 2: (Produk Kartesius)
Jika C = {2, 3, 4} maka CxC = {(2,2), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3), (3,4), (4,2), (4,3), (4,4)}
Relasi antara Dua Himpunan
Misalkan A dan B masing-masing himpunan. R dikatakan suatu relasi dari A ke B apabila R ⊆ AxB.
Berkenaan dengan definisi relasi tersebut di atas, perlu diperhatikan bahwa:
himpunan bagian yang manapun dari AxB merupakan suatu relasi dari A ke B.
mungkin terjadi A = B. Dalam hal A = B, dikatakan bahwa “R merupakan suatu relasi dalam A” atau “R merupakan suatu relasi dalam B”. Secara matematis, R ⊆ AxA atau R ⊆ BxB
Secara teknis, bagaimana cara mendefinisikan suatu relasi R dari himpunan A ke himpunan B? Secara umum, ada dua cara yang dapat dijalankan, yaitu dengan memerinci satu demi satu semua anggotanya (tabular form) atau dengan set-builder form.
Contoh 3: (Mendefinisikan suatu relasi dengan tabular form)
Misalkan A = {Bandung, Tasikmalaya, Garut, Bogor, Cirebon} dan B = {a, b, c, d, g}.
Relasi R dari A ke B didefinisikan sebagai R = {(Bandung,b), (Garut,g), (Bogor,b), (Cirebon,c)}.
Contoh 4: (Mendefinisikan suatu relasi dengan set-builder form)
Misalkan A = {Bandung, Tasikmalaya, Garut, Bogor, Cirebon} dan B = {a, b, c, d, g}.
Relasi R pada Contoh 3 dapat didefinisikan sebagai R = {(x,y) ∊ AxB| kota x berawalan dengan huruf y}
Contoh 5: (Mendefinisikan suatu relasi dengan tabular form dan set-builder form)
Misalkan C = {1, 2, 3, 5} dan D = {1, 4, 6}.
Suatu relasi T didefinisikan sebagai T = {(x,y) ∊ CxD|x habis membagi y}.
Dengan cara lain, T dapat didefinisikan sebagai T = {(1,1), (1,4), (1,6), (2,4), (2,6), (3,6)}
Tidak semua relasi antara dua himpunan dapat dilakukan dengan cara memerinci satu demi satu semua anggotanya. Sebagai contoh, misalkan P adalah suatu relasi dalam ℕ (P ⊆ ℕxℕ) dengan P = {(x,y)∊ ℕxℕ| y = x + 10}. Dalam hal ini terdapat tak berhingga banyaknya anggota P. Beberapa di antara anggota P adalah (1,11), (2,12), (3,13), (4,14), (5,15), dan seterusnya. Tidak mungkin memerinci satu demi satu semua anggota P.
Daerah Asal (Domain) dan Daerah Hasil (Range) Suatu Relasi
Misalkan A, B masing-masing himpunan dan R suatu relasi dari A ke B (yaitu R ⊆ AxB).
Daerah asal/domain dari R, DR, didefinisikan sebagai DR = {a ∊ A| (a,b) ∊ R} dan daerah hasil dari R, ER, didefinisikan sebagai ER = {b ∊ B| (a,b) ∊ R}.
Contoh 6: (Domain dan Range)
Pada Contoh 3, DR = { Bandung, Garut, Bogor, Cirebon} dan ER = {b, c, g}
Pada Contoh 5, DT = {1, 2, 3} dan ET = {1, 4, 6}
Contoh 7: (Domain dan Range)
Misalkan P = {(x,y)∊ ℕxℕ| y = x + 10}. Pada contoh ini, DP = ℕ dan EP = {y ∊ ℕ| y > 10}
RELASI
Apa arti relasi? Relasi bukan merupakan suatu kata asli bahasa Indonesia, melainkan berasal dari suatu kata dalam bahasa Inggris “relation”. Karena itu mari kita lihat apa arti kata relation dalam The Advanced Learner’s Dictionary of Current English. Terdapat beberapa arti, namun salah satu yang berkaitan dengan relasi yang dimaksudkan dalam tulisan ini adalah “what there is between one thing, person, idea, etc. and another or others”, sedangkan Roy Hollands dalam kamusnya, yaitu Kamus Matematika memberikan dua pengertian, yaitu 1) “suatu ikatan antara unsur-unsur atau anggota-anggota dari suatu kumpulan atau kumpulan-kumpulan” dan 2) “suatu kumpulan pasangan-pasangan teratur”. Dari definisi-definisi tersebut dapat kita simpulkan bahwa suatu relasi itu menghubungkan dua hal tertentu. Dalam matematika pun, relasi “kurang lebih” seperti itu. Dikatakan “kurang lebih” karena matematika memiliki definisi tersediri mengenai istilah “relasi”, tetapi ada kemiripan ciri dengan kedua definisi tadi.
Konsep relasi dalam matematika bagi sebagian orang barangkali terlalu sulit dibayangkan, padahal relasi itu sangat melekat dalam kehidupan kita se
hari-hari. Perhatikan gambar yang disajikan di samping. Gambar tersebut merupakan cuplikan foto menu makanan di suatu restoran berikut dengan harganya per porsi. Dengan teori himpunan, daftar makanan dan harganya tersebut dapat dipandang merupakan “suatu relasi R1 dari himpunan A ke himpunan B”, dengan A = {Lele bakar, Gurame bakar, Ayam bakar, Bandeng bakar, Nasi, Teh panas, Es jeruk nipis, Kopi panas} dengan B = {Rp 7000, Rp 9000, Rp 17000, Rp 13000, Rp 1000, Rp 2000, Rp 2500, Rp 3000, Rp 4500}, R1 = {(Lele bakar,Rp 7000), (Gurame Bakar,Rp 17000), (Ayam bakar,Rp 9000), (Bandeng bakar,Rp 13000), (Nasi,Rp 1000)}. Dengan bahasa sehari-hari, A merupakan kumpulan makanan dan minuman yang tersedia, B adalah kumpulan harga, dan R1 adalah daftar harga masing-masing makanan. Dengan terdefinisinya R1, menjadi jelas berapa harga masing-masing makanan. Perhatikan bahwa setiap anggota R1 merupakan “pasangan berurut” (ordered pairs) dalam bentuk (x,y) di mana x adalah nama makanan (merupakan anggota A) dan y adalah harga makanan x (merupakan anggota B).
Bagaimana relasi R1 dan R2 tadi terbentuk? Sebelum relasi-relasi tersebut terbentuk, telah ada dua himpunan A (yaitu himpunan makanan dan minuman yang tersedia) dan himpunan B (yaitu himpunan harga. Kemudian kita mendefinisikan (x,y) ∊ R1 ⇔ “harga makanan x adalah y” dan kita definisikan (x,y) ∊ R2 ⇔ “harga minuman x adalah y”.
Untuk mendefinisikan relasi secara formal, perlu dipahami dulu pengertian produk Kartesius (Cartesian Product) antara dua himpunan.
Produk Kartesius
Misalkan A dan B masing-masing himpunan. Produk Kartesius AxB didefinisikan sebagai berikut:
A x B = {(a,b) | a ∊ A, b ∊ B}
Contoh 1: (Produk Kartesius)
Jika A = {3, 7, 10} dan B = {0, 1} maka AxB = {(3,0), (3,1), (7,0), (7,1), (10,0), (10,1)} dan BxA = {(0,3), (0,7), (0,10), (1,3), (1,7), (1,10)}
Contoh 2: (Produk Kartesius)
Jika C = {2, 3, 4} maka CxC = {(2,2), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3), (3,4), (4,2), (4,3), (4,4)}
Relasi antara Dua Himpunan
Misalkan A dan B masing-masing himpunan. R dikatakan suatu relasi dari A ke B apabila R ⊆ AxB.
Berkenaan dengan definisi relasi tersebut di atas, perlu diperhatikan bahwa:
Secara teknis, bagaimana cara mendefinisikan suatu relasi R dari himpunan A ke himpunan B? Secara umum, ada dua cara yang dapat dijalankan, yaitu dengan memerinci satu demi satu semua anggotanya (tabular form) atau dengan set-builder form.
Contoh 3: (Mendefinisikan suatu relasi dengan tabular form)
Misalkan A = {Bandung, Tasikmalaya, Garut, Bogor, Cirebon} dan B = {a, b, c, d, g}.
Relasi R dari A ke B didefinisikan sebagai R = {(Bandung,b), (Garut,g), (Bogor,b), (Cirebon,c)}.
Contoh 4: (Mendefinisikan suatu relasi dengan set-builder form)
Misalkan A = {Bandung, Tasikmalaya, Garut, Bogor, Cirebon} dan B = {a, b, c, d, g}.
Relasi R pada Contoh 3 dapat didefinisikan sebagai R = {(x,y) ∊ AxB| kota x berawalan dengan huruf y}
Contoh 5: (Mendefinisikan suatu relasi dengan tabular form dan set-builder form)
Misalkan C = {1, 2, 3, 5} dan D = {1, 4, 6}.
Suatu relasi T didefinisikan sebagai T = {(x,y) ∊ CxD|x habis membagi y}.
Dengan cara lain, T dapat didefinisikan sebagai T = {(1,1), (1,4), (1,6), (2,4), (2,6), (3,6)}
Tidak semua relasi antara dua himpunan dapat dilakukan dengan cara memerinci satu demi satu semua anggotanya. Sebagai contoh, misalkan P adalah suatu relasi dalam ℕ (P ⊆ ℕxℕ) dengan P = {(x,y)∊ ℕxℕ| y = x + 10}. Dalam hal ini terdapat tak berhingga banyaknya anggota P. Beberapa di antara anggota P adalah (1,11), (2,12), (3,13), (4,14), (5,15), dan seterusnya. Tidak mungkin memerinci satu demi satu semua anggota P.
Daerah Asal (Domain) dan Daerah Hasil (Range) Suatu Relasi
Misalkan A, B masing-masing himpunan dan R suatu relasi dari A ke B (yaitu R ⊆ AxB).
Daerah asal/domain dari R, DR, didefinisikan sebagai DR = {a ∊ A| (a,b) ∊ R} dan daerah hasil dari R, ER, didefinisikan sebagai ER = {b ∊ B| (a,b) ∊ R}.
Contoh 6: (Domain dan Range)
Pada Contoh 3, DR = { Bandung, Garut, Bogor, Cirebon} dan ER = {b, c, g}
Pada Contoh 5, DT = {1, 2, 3} dan ET = {1, 4, 6}
Contoh 7: (Domain dan Range)
Misalkan P = {(x,y)∊ ℕxℕ| y = x + 10}. Pada contoh ini, DP = ℕ dan EP = {y ∊ ℕ| y > 10}
PENUTUP
Kumpulan Soal mengenai Relasi (tautan belum tersedia)
Bagikan ini:
Most visitors also read :
BERKENALAN DENGAN NILAI DAN VEKTOR EIGEN
DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SINGULAR VALUE DECOMPOSITION)
MATRIKS AKAR KUADRAT
SOAL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA