PERJUMPAAN DENGAN BILANGAN BULAT

Juni 2nd, 2016

Di tulisan saya yang lalu yang berjudul “Apa Susahnya 1, 2, 3?” saya telah memperkenalkan bilangan asli. Sekedar mengingatkan kembali, himpunan semua bilangan asli dilambangkan dengan ℕ. Jadi, ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}. Dalam tulisan saya kali ini, akan saya bahas mengenai bilangan-bilangan bulat.

 

Bilangan asli manakah yang apabila ditambah 3 menghasilkan 10? Secara matematis, pertanyaan ini dapat dinyatakan dengan persamaan x + 3 = 10. Dengan mudah dapat kita jawab x = 7. Pertanyaan lain: bilangan asli manakah yang apabila ditambah 14 menghasilkan 34? (Secara matematis: x + 14 = 34) Dengan mudah dapat kita jawab x = 20. Namun, bagaimana dengan x + 5 = 2? Bilangan asli manakah yang apabila ditambah 5 menghasilkan 2? Tidak ada bilangan asli yang apabila ditambah 5 menghasilkan 2. Selain itu, bagaimana dengan x + 13 = 13? Bilangan asli mana yang apabila ditambah 13 menghasilkan 13? Tak ada bilangan asli yang semacam itu. Dua contoh terakhir ini menunjukkan bahwa ternyata ℕ memiliki suatu kekurangan. Dengan kata lain, agar persamaan-persamaan semacam itu mempunyai jawaban, kita memerlukan himpunan bilangan lain yang mampu menyelesaikan lebih banyak persamaan. Dalam tulisan ini akan diuraikan bagaimana himpunan semua bilangan bulat ℤ “dibangun” untuk menutupi kekurangan ℕ.

Pertama semua anggota ℕ dijadikan anggota ℤ juga. Jadi, {1, 2, 3, 4, 5, …} ⊆ ℤ. Selanjutnya, ke dalam ℤ digabungkan anggota baru bernama nol (dilambangkan dengan 0). Anggota baru ini dinamakan unsur identitas terhadap penjumlahan, dalam arti bahwa untuk setiap a ∈ ℤ berlaku a + 0 = a dan 0 + a = a. Jadi, 0 + 7 = 7 + 0 = 7, 10 + 0 = 0 + 10 = 10, 25 + 0 = 0 + 25 = 25, dan seterusnya. Itulah sifat atau ciri dari nol. Dengan demikian, sekarang kita mempunyai {0, 1, 2, 3, 4, 5, … } ⊆ ℤ. Kemudian, ke dalam ℤ digabungkan lagi bilangan-bilangan lain, yaitu -1, -2, -3, -4, -5, … (yang dinamakan bilangan-bilangan bulat negatif). Apakah -1 itu? -1 adalah bilangan bulat yang apabila ditambah 1 menghasilkan 0 (unsur identitas terhadap penjumlahan). Apakah -2 itu? -2 adalah bilangan bulat yang apabila ditambah 2 menghasilkan 0. Apakah -3 itu? -3 adalah bilangan bulat yang apabila ditambah 3 menghasilkan 0. Demikian seterusnya. Secara umum, jika a ∈ ℤ maka –a adalah bilangan bulat yang memenuhi –a + a = 0 dan a + (-a) = 0. –a ini disebut invers dari a (terhadap penjumlahan) atau lawan dari a. Jadi, lawan dari 7 adalah -7, lawan dari 25 adalah -25, lawan dari 132 adalah -132, dan seterusnya. Dengan anggota-anggota baru tersebut anggota ℤ selengkapnya adalah: ℤ = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

 

Apabila x ∈ ℤ, setiap persamaan dalam bentuk a + x = b atau x + a = b memiliki penyelesaian untuk setiap a, b ∈ ℤ. Dengan terkonstruksinya ℤ, lebih banyak penyelesaian yang didapat dibandingkan dengan apabila kita hanya memiliki ℕ.

 



Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *