GARIS POLAR PADA LINGKARAN (1)

Desember 10th, 2016

Di post saya yang lalu, telah ditunjukkan berberapa contoh bagaimana menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran. Melalui contoh berikut, saya akan memperkenalkan garis polar.

 

Contoh

Diketahui lingkaran dengan persamaan x2 + y2 = 9. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik K(4,4)?

 

Jawab:

Kita misalkan garis singgung itu memiliki persamaan y = mx + c. Karena garis itu melalui K, haruslah berlaku 4 = 4m + c dan selanjutnya diperoleh c = 4 – 4m. Jadi, garis singgung tersebut memiliki persamaan: y = mx + (4 – 4m). Substitusikan ini ke dalam persamaan lingkaran, diperoleh:

x2 + (mx + 4 – 4m)2 = 9

x2 + m2x2 + 16 + 16m2 + 8mx – 8m2x – 32m = 9

(m2 + 1)x2 + (8m – 8m2)x + (16m2 – 32m + 7) = 0

(m2 + 1)x2 + 8m(1 – m)x + (16m2 – 32m + 7) = 0

Persamaan yang terakhir diperoleh di atas merupakan persamaan kuadrat dalam x.

Agar garis tersebut menyinggung garis, diskriminan persamaan kuadrat tersebut haruslah bernilai nol. Jadi, haruslah berlaku:

[8m(1-m)]2 – 4(m2 + 1)(16m2 – 32m + 7) = 0

7m2 – 32m + 7 = 0

Dengan rumus abc,diperoleh dua nilai m yang mungkin, yaitu:

m_{1} ~=~ {16 ~+~ 3 sqrt{23}}/7

m_{1} ~=~ {16 ~-~ 3 sqrt{23}}/7

Karena ada dua nilai m yang mungkin, maka terdapat dua garis singgung (namakanlah ℓ1 dan ℓ2)  yang dapat dibuat yang melalui K(4,4). Untuk menentukan persamaan kedua garis singgung ini, substitusikan masing-masing m ke dalam persamaan garis y = mx + (4 – 4m), sehingga pada akhirnya diperoleh persamaan-persamaan sebagai berikut.

1 ≡ (16 + 3√23) x – 7y – (36 + 12√23) = 0

1 ≡ (16 – 3√23) x – 7y – (36 – 12√23) = 0

Gambar

 

Pada Gambar di atas, titik A dan B merupakan titik singgung garis ℓ2 dan ℓ1 pada lingkaran. Garis yang melalui kedua titik singgung A dan B adalah garis g. Garis tersebut dinamakan garis polar. Bagaimana persamaan garis ini?

 

Dengan diketahuinya persamaan garis-garis singgung tadi, tentunya kita dapat memperoleh titik potong masing-masing garis dengan lingkaran. Teknik substitusi dapat digunakan untuk mencari titik-titik potong ini. Setelah koordinat masing-masing titik potong (dalam hal ini adalah titik singgung), persamaan garis yang melalui kedua titik ini dapat ditentukan. Detail perhitungan dengan cara ini cukup rumit (silakan dicoba). Apabila perhitungan tersebut dilakukan dengan benar, akan diperoleh persamaan garis polar g ≡ 4x + 4y = 9. Bagaimana rumus untuk mendapatkan hasil ini?

 

Misalkan diketahui lingkaran dengan persamaan x2 + y2 = R2 dan diketahui pula suatu titik K yang berkoordinat (x1,y1) dengan x12 + y12 > R2 (jadi K tidak terletak pada lingkaran tersebut). Misalkan melalui K ditarik garis-garis yang menyinggung lingkaran tersebut. Maka garis yang melalui kedua titik singgungnya memiliki persamaan: x1x + y1y = R2. Garis yang menghubungkan kedua titik singgung ini dinamakan garis polar.

 

Pada contoh di atas, x1 = 4, y1 = 4, dan R = 3. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus x1x + y1y = R2, diperoleh 4x + 4y = 32, yang ekivalen dengan 4x + 4y = 9.

 

Bagaimana apabila lingkaran tersebut berpusat di (α,β), berjari-jari R, dan titik yang berkoordinat (x1,y1) memenuhi (x1 – α)2 + (y1 – β)2 > R2? Bagaimana persamaan garis polarnya? Rumus berikut dapat digunakan:

(x1 – α)(x – α) + (y1 – β)(y – β) = R2

 

(bersambung)

Tagging: ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *