GARIS POLAR PADA LINGKARAN (2)

Desember 27th, 2016

Di post saya yang lalu mengenai garis polar telah diuraikan rumus persamaan garis polar untuk lingkaran dengan persamaan (x – α)2 + (y – β)2 = R2 dan titik polar (x1,y1), yaitu:

(x1 – α)(x – α) + (y1 – β)(y – β) = R2

Berikut akan diuraikan contoh penerapan rumus tersebut.

 

Contoh 1

Suatu lingkaran berpusat di (-1,3) dan berjari-jari 2. Tentukan persamaan garis polar apabila titik polarnya berkoordinat (-4,4).

 

Jawab:

Persamaan lingkaran yang berpusat di (-1,3) dan berjari-jari 2 adalah:

(x + 1)2 + (y – 3)2 = 22

⇔ (x + 1)2 + (y – 3)2 = 4

Dalam contoh ini diperoleh: α = -1, β = 3, x1 = -4, dan y1 = 4.

Penerapan rumus persamaan garis polar di atas menghasilkan:

(-4 – (-1))(x – (-1)) + (4 – 3)(y – 3) = 22

-3(x + 1) + (y – 3) = 4

-3x + y = 10

y = 3x + 10 [Inilah persamaan garis polar yang ditanyakan.]

(Lihat Gambar 1)

Gambar 1

 

Sekarang bagaimana apabila persamaan lingkaran tersebut dalam bentuk x2 + y2 + Ax + By + C = 0 dan titik polarnya berkoordinat (x1,y1)? Bagaimana persamaan garis polarnya?

x_{1} x ~+~ y_{1} y + A ~.~ {x_{1} ~+~ x}/2 + B ~.~ {y_{1} ~+~ y}/2 ~+~ C ~=~ 0 ……………………….. (*)

 

Contoh 2

Diketahui lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + 2x – 6y + 6 = 0. Tentukan persamaan garis polar apabila titik polarnya berkoordinat (-4,4).

 

Jawab:

Pada contoh ini, A = 2, B = -6, C = 6, x1 = -4, dan y1 = 4.

Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus x_{1} x ~+~ y_{1} y + A ~.~ {x_{1} ~+~ x}/2 + B ~.~ {y_{1} ~+~ y}/2 ~+~ C ~=~ 0, diperoleh:

-4x ~+~ 4y ~+~ 2 ~.~ {-4 ~+~ x}/2 ~-~ 6 ~.~ {4 ~+~ y}/2 ~+~ 6 ~=~ 0

Dengan menyederhanakan persamaan tersebut, diperoleh y = 3x + 10. [Bandingkan dengan hasil pada Contoh 1.]

 

Bagaimana apabila kita menggunakan (*) sedangkan (x1,y1) merupakan koordinat suatu titik yang terletak pada lingkaran? Hasil substitusi x1 dan y1 ke dalam (*) dalam kasus ini akan menghasilkan persamaan garis singgung di titik tersebut.

 

Contoh 3

Diketahui lingkaran dengan persamaan x2 + y2 – 4x – 6y + 8 = 0. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut yang melalui titik yang berkoordinat (3,5).

 

Jawab:

Dengan mensubstitusikan x = 3 dan y = 5 ke dalam persamaan lingkaran tersebut, dapat disimpulkan bahwa titik berkoordinat (3,5) terletak pada lingkaran, sehingga kita boleh menggunakan (*) untuk menentukan persamaan garis singgung di titik tersebut. Substitusika x1 = 3, y1 = 5, A = -4, B = -6, dan C = 8 ke dalam (*), diperoleh:

3x ~+~ 5y ~-~ 4 ~.~ {3 ~+~ x}/2 ~-~ 6 ~.~ {5 ~+~ y}/2 ~+~ 8 ~=~ 0

Dengan menyederhanakan hasil tersebut, diperoleh persamaan garis singgung x + 2y = 13. (Lihat Gambar 2.)

Gambar 2

 

Contoh 4

Diketahui lingkaran dengan persamaan x2 + y2 = 36. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut, yang dapat ditarik melalui titik K(8,0).

 

Jawab:

[Karena post ini mengenai garis polar, penyelesaian soal ini menggunakan garis polar. Sebenarnya ini bisa diselesaikan tanpa menggunakan garis polar.]

 

Persamaan lingkaran tersebut dapat dinyatakan sebagai x2 + y2 – 36 = 0

Pada contoh ini, A = B = 0, C = – 36, x1 = 8, y1 = 0. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam (*), diperoleh persamaan garis polar: 8x – 36 = 0 ⇔ x = 4½. Pada Gambar 3, garis polar ini diberi warna merah. Untuk memperoleh titik-titik singgung garis pada lingkaran, substitusikan x = 4½ ke dalam persamaan lingkaran, akan diperoleh nilai y = ± 1½√7. Jadi, koordinat titik-titik singgung pada lingkaran tersebut yang melalui K adalah (4½,1½√7) dan (4½,-1½√7).

Gambar 3

 

Dengan menggunakan rumus yang telah diuraikan pada post saya yang lain, yaitu rumus

{y ~-~ y_{1}}/{y_{2} ~-~ y_{1}} ~=~ {x ~-~ x_{1}}/{x_{2} ~-~ x_{1}}

dapat diperoleh persamaan garis-garis singgung (g1 dan g2 pada Gambar 3) yang ditanyakan, yaitu:

g1y ~=~ - ~ {3 sqrt{7}}/7 (x ~-~ 8)

g2y ~=~ {3 sqrt{7}}/7 (x ~-~ 8)

Tagging: , ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *