Di post saya sebelumnya, saya telah memperkenalkan konsep bijeksi atau korespondensi satu-satu. Apa keistimewaan suatu bijeksi? Jika f suatu bijeksi dengan daerah asal A dan daerah kawan B maka terdapat suatu bijeksif -1 dari B ke A, sedemikian hingga kondisi berikut berlaku:
f(a) = b jika dan hanya jika f-1(b) = a ……………………………………………………… (*)
untuk setiap a ∊ A dan untuk setiap b ∊ B.
Bijeksi f-1 yang memenuhi kondisi (*) dinamakan fungsi invers dari f.
Contoh 1
Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, B = {0, -3, -1, 7}, dan f = {(1,-1), (2,0), (3,7), (4,-3)}.
Perhatikan bahwa f merupakan suatu bijeksi dengan daerah asal A dan daerah kawan B. Sekarang, f-1 mana yang memenuhi kondisi (*)?
Definisikan f-1 = {(0,2), (-3,4), (-1,1), (7,3)}. f-1 merupakan suatu bijeksi dengan daerah asal B dan daerah kawan A, dan kondisi (*) berlaku.
Untuk memeriksa kondisi (*) berlaku, perhatikan hal-hal berikut.
f(1) = -1 dan f-1(-1) = 1
f(2) = 0 dan f-1(0) = 2
f(3) = 7 dan f-1(7) = 3
f(4) = -3 dan f-1(-3) = 4
Jadi, f-1 yang didefinisikan dengan cara di atas merupakan fungsi invers dari f.
Seperti halnya yang dapat dilihat pada Contoh 1, jika f merupakan suatu bijeksi dari A ke B maka untuk setiap b ∊ B f-1(b) merupakan prapeta dari b. Jadi, berlaku f(f-1(b)) = b.
Dalil
Misalkan f: A → B suatu bijeksi dan f -1: B → A merupakan fungsi invers dari f.
Maka untuk setiap x ∊ B berlaku f(f-1(x)) = x.
Dalil tersebut dapat digunakan untuk menentukan rumus aturan fungsi f-1.
Contoh 2
Diketahui f: ℝ → ℝ yang didefinisikan sebagai f(x) = 3x – 2. Jika f-1 adalah fungsi invers dari f, tentukan aturan fungsi f-1.
Jawab:
Dapat dibuktikan bahwa f suatu bijeksi dari ℝ ke ℝ. Karena f suatu bijeksi dari ℝ ke ℝ, terdapat suatu bijeksi f-1 dari ℝ ke ℝ. Dari dalil di atas diperoleh f(f-1(x)) = x untuk setiap x ∊ ℝ. Jadi, kita substitusikan f-1(x) ke dalam x pada aturan fungsi f, diperoleh:
3f-1(x) – 2 = x
3f-1(x) = x + 2
[pmath]f^{-1} (x) ~=~ {x ~+~ 2}/3[/pmath]
Contoh 3
Diketahui g: ℝ → ℝ yang didefinisikan sebagai g(x) = x3 – 5. Jika g-1 adalah fungsi invers dari g, tentukan aturan fungsi g-1.
Jawab:
Dapat dibuktikan bahwa g suatu bijeksi dari ℝ ke ℝ. Karena g suatu bijeksi dari ℝ ke ℝ, terdapat suatu bijeksi g-1 dari ℝ ke ℝ. Dari dalil di atas diperoleh g(g-1(x)) = x untuk setiap x ∊ ℝ. Jadi, kita substitusikan g-1(x) ke dalam x pada aturan fungsi g, diperoleh:
[pmath](g^{-1} (x))^3 ~-~ 5 ~=~ x[/pmath]
[pmath](g^{-1} (x))^3 ~=~ x ~+~ 5[/pmath]
[pmath]g^{-1} (x) ~=~ root{3}{x ~+~ 5}[/pmath]
Contoh 4
Misalkan A = ℝ\{1} dan k: A → A yang didefinisikan sebagai [pmath]k(x) ~=~ {x ~+~ 1}/{x ~-~ 1}[/pmath]. Buktikan bahwa k = k -1.
Jawab:
(Contoh ini sekaligus mengingatkan kembali mengenai kesamaan dua fungsi, yang pernah saya bahas di post saya sebelumnya.)
Perhatikan bahwa k dan k -1 memiliki daerah asal yang sama. Sekarang kita akan buktikan bahwa untuk setiap x ∊ A berlaku k(x) = k -1(x).
FUNGSI INVERS
Di post saya sebelumnya, saya telah memperkenalkan konsep bijeksi atau korespondensi satu-satu. Apa keistimewaan suatu bijeksi? Jika f suatu bijeksi dengan daerah asal A dan daerah kawan B maka terdapat suatu bijeksi f -1 dari B ke A, sedemikian hingga kondisi berikut berlaku:
f(a) = b jika dan hanya jika f -1(b) = a ……………………………………………………… (*)
untuk setiap a ∊ A dan untuk setiap b ∊ B.
Bijeksi f -1 yang memenuhi kondisi (*) dinamakan fungsi invers dari f.
Contoh 1
Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, B = {0, -3, -1, 7}, dan f = {(1,-1), (2,0), (3,7), (4,-3)}.
Perhatikan bahwa f merupakan suatu bijeksi dengan daerah asal A dan daerah kawan B. Sekarang, f-1 mana yang memenuhi kondisi (*)?
Definisikan f-1 = {(0,2), (-3,4), (-1,1), (7,3)}. f-1 merupakan suatu bijeksi dengan daerah asal B dan daerah kawan A, dan kondisi (*) berlaku.
Untuk memeriksa kondisi (*) berlaku, perhatikan hal-hal berikut.
f(1) = -1 dan f-1(-1) = 1
f(2) = 0 dan f-1(0) = 2
f(3) = 7 dan f-1(7) = 3
f(4) = -3 dan f-1(-3) = 4
Jadi, f-1 yang didefinisikan dengan cara di atas merupakan fungsi invers dari f.
Seperti halnya yang dapat dilihat pada Contoh 1, jika f merupakan suatu bijeksi dari A ke B maka untuk setiap b ∊ B f-1(b) merupakan prapeta dari b. Jadi, berlaku f(f-1(b)) = b.
Dalil
Misalkan f: A → B suatu bijeksi dan f -1: B → A merupakan fungsi invers dari f.
Maka untuk setiap x ∊ B berlaku f(f-1(x)) = x.
Dalil tersebut dapat digunakan untuk menentukan rumus aturan fungsi f-1.
Contoh 2
Diketahui f: ℝ → ℝ yang didefinisikan sebagai f(x) = 3x – 2. Jika f-1 adalah fungsi invers dari f, tentukan aturan fungsi f-1.
Jawab:
Dapat dibuktikan bahwa f suatu bijeksi dari ℝ ke ℝ. Karena f suatu bijeksi dari ℝ ke ℝ, terdapat suatu bijeksi f-1 dari ℝ ke ℝ. Dari dalil di atas diperoleh f(f-1(x)) = x untuk setiap x ∊ ℝ. Jadi, kita substitusikan f-1(x) ke dalam x pada aturan fungsi f, diperoleh:
3f-1(x) – 2 = x
3f-1(x) = x + 2
[pmath]f^{-1} (x) ~=~ {x ~+~ 2}/3[/pmath]
Contoh 3
Diketahui g: ℝ → ℝ yang didefinisikan sebagai g(x) = x3 – 5. Jika g-1 adalah fungsi invers dari g, tentukan aturan fungsi g-1.
Jawab:
Dapat dibuktikan bahwa g suatu bijeksi dari ℝ ke ℝ. Karena g suatu bijeksi dari ℝ ke ℝ, terdapat suatu bijeksi g-1 dari ℝ ke ℝ. Dari dalil di atas diperoleh g(g-1(x)) = x untuk setiap x ∊ ℝ. Jadi, kita substitusikan g-1(x) ke dalam x pada aturan fungsi g, diperoleh:
[pmath](g^{-1} (x))^3 ~-~ 5 ~=~ x[/pmath]
[pmath](g^{-1} (x))^3 ~=~ x ~+~ 5[/pmath]
[pmath]g^{-1} (x) ~=~ root{3}{x ~+~ 5}[/pmath]
Contoh 4
Misalkan A = ℝ\{1} dan k: A → A yang didefinisikan sebagai [pmath]k(x) ~=~ {x ~+~ 1}/{x ~-~ 1}[/pmath]. Buktikan bahwa k = k -1.
Jawab:
(Contoh ini sekaligus mengingatkan kembali mengenai kesamaan dua fungsi, yang pernah saya bahas di post saya sebelumnya.)
Perhatikan bahwa k dan k -1 memiliki daerah asal yang sama. Sekarang kita akan buktikan bahwa untuk setiap x ∊ A berlaku k(x) = k -1(x).
Dari dalil di atas, diperoleh: k(k -1(x)) = x.
Selanjutnya, [pmath]{k^{-1} (x) ~+~ 1}/{k^{-1} (x) ~-~ 1} ~=~ x[/pmath]
[pmath]xk^{-1} (x) ~-~ x ~=~ k^{-1} (x) ~+~ 1[/pmath]
[pmath]xk^{-1} (x) ~-~ k^{-1} (x) ~=~ x ~+~ 1[/pmath]
[pmath](x ~-~ 1)k^{-1} (x) ~=~ x ~+~ 1[/pmath]
[pmath]k^{-1} (x) ~=~ {x ~+~ 1}/{x ~-~ 1}[/pmath]
[pmath]k^{-1} (x) ~=~ k(x)[/pmath]
Telah diperoleh bahwa k dan k-1 memiliki domain yang sama (yaitu A) dan untuk setiap x ∊ A berlaku k-1(x) = k(x). Ini menunjukkan bahwa k = k-1.
Bagikan ini:
Most visitors also read :
BERKENALAN DENGAN NILAI DAN VEKTOR EIGEN
DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SINGULAR VALUE DECOMPOSITION)
MATRIKS AKAR KUADRAT
SOAL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA