BILANGAN e KARYA SI BUTA

Juni 13th, 2016

euler

Kebutaan tidak menjadi halangan baginya untuk berkarya. Karena ketekunannya dalam mempelajari matematika, ia kehilangan penglihatan mata kanannya dan kemudian mata kirinya juga 31 tahun kemudian. Ia menemukan salah satu cabang matematika yang dinamakan topologi. Ia pun berkontribusi dalam ilmu mengenai bangun-bangun ruang, di mana ia menghasilkan rumus Euler. Siapakah dia? Jenius itu bernama Leonhard Euler, seorang Swiss, yang hidup antara tahun 1707 sampai 1783. Salah satu karyanya yang lain, yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah sebuah bilangan irasional yang dilambangkan dengan e. Pada akhirnya bilangan e ini banyak dipakai dalam matematika dan berbagai ilmu pengetahuan alam.

Perhatikan barisan (un), dengan u_{n}=(1+1/n)^n untuk setiap n ∊ ℕ. Nilai un untuk berbagai nilai n dapat dilihat pada tabel berikut.

 

n

un

n

un

1 2,00000 10 2,59374
2 2,25000 20 2,65330
3 2,37037 50 2,69159
4 2,44141 100 2,70481
5 2,48832 200 2,71152
6 2,52163 500 2,71557
7 2,54650 1000 2,71692

 

Perhatikan bahwa seiring dengan bertambahnya nilai n, nilai un juga bertambah. Barisan ini merupakan barisan yang monoton naik (monotone increasing). Juga dapat dibuktikan bahwa untuk setiap n ∊ ℕ un < 3 (Jadi, barisan ini terbatas di atas.) Salah satu teorema/dalil dalam matematika mengatakan bahwa “barisan yang monoton naik dan terbatas di atas bersifat konvergen”. Dengan menerapkan dalil tersebut pada barisan (un) ini, dapat kita simpulkan bahwa barisan (un) ini konvergen; nilai un semakin mendekati/menuju suatu bilangan tertentu seiring dengan bertambahnya nilai n. Bilangan yang dituju (un) inilah yang disebut dengan bilangan e. Secara matematis:

e=lim{n right infty }{(1+1/n)^n}

Sampai 10 tempat desimal, e ≈ 2,7182818285.

 

Dalam kalkulus integral, luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 1/x, sumbu x, garis x = 1, dan garis x = e adalah 1 satuan. (Pada gambar di bawah ini, luas daerah berwarna hijau adalah L = 1 satuan luas.)

Luasan_e

Bilangan e tidak dapat lepas hubungannya dengan suatu fungsi yang dinamakan fungsi logaritma natural. Fungsi ini memiliki daerah asal D = {x ∊ ℝ ∣ x > 0} dan daerah kawan ℝ, memetakan setiap x ∊ D ke ln x=int{1}{x}{1/x~dx} . Dengan pendefinisian fungsi logaritma natural seperti ini, dapat dibuktikan bahwa ln e = 1.

 

Penggunaan bilangan e dapat kita temukan di aneka ragam bidang, beberapa di antaranya adalah sebagai berikut.

  1. Dalam statistika, bilangan e dipakai dalam beberapa distribusi peluang, yaitu distribusi normal, distribusi Poisson, dan distribusi eksponensial.
  2. Dalam bidang psikologi, dikenal Kurva Belajar. Perumusan kurva ini pun menggunakan e.
  3. Dalam bidang keuangan, bilangan e digunakan dalam continuous compounding.
  4. Dalam bidang fisika, bilangan e digunakan dalam persamaan peluruhan radioaktif eksponensial.

 

Entah di masa hidupnya Euler sudah memperkirakan atau tidak bahwa bilangan e tersebut sangat berguna bagi kemajuan ilmu pengetahuan di masa kini. Namun, yang pasti di tengah berbagai keterbatasannya sebagai seorang manusia, ia telah menyumbangkan hal yang demikian berharga bagi kehidupan kita sekarang. Kebutaan tidak menghalanginya untuk berkarya …

 

Tagging:

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *