BANYAKNYA PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER (2)

Mei 4th, 2017

Di post saya yang lalu telah diperkenalkan sebuah persamaan linier dengan satu atau beberapa variabel. Persamaan yang disajikan pada Contoh 1 hanya memiliki satu buah penyelesaian, yaitu x = 9. Pada Contoh 4 dan Contoh 5, persamaan yang disajikan masing-masing memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian. Sekarang, apakah mungkin sebuah persamaan linier tidak memiliki penyelesaian sama sekali? Perhatikan persamaan 0x1 + 0x2 + 0x3 = 4. Berapa pun nilai x1, x2, maupun x3, ruas kiri persamaan tersebut pasti bernilai nol sedangkan ruas kanannya bernilai 4. Jadi, tidak ada penyelesaian bagi persamaan tersebut. Dari semua yang telah diterangkan, ternyata satu buah persamaan linier dapat memiliki penyelesaian tunggal, memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian, atau dapat pula tidak memiliki penyelesaian sama sekali.

 

Hal yang sama berlaku juga bagi suatu sistem persamaan linier? Suatu sistem persamaan linier dapat memiliki penyelesaian tunggal, memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian, atau dapat pula tidak memiliki penyelesaian sama sekali. Sebelum tiba pada contoh-contoh, kita perlu memahami beberapa istilah.

 

Sistem persamaan linier dan Penyelesaiannya

Suatu sistem m buah persamaan linier dengan n buah anu (unknown) adalah kumpulan m buah persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk:

dengan aij, bi ∊ ℝ untuk i = 1, 2, 3, …, m dan j = 1, 2, 3, …, n

x1 = s1, x2 = s2, …, dan xn = sn merupakan penyelesaian bagi sistem persamaan  di atas apabila semua  pernyataan berikut benar:

a11s1 + a12s2 + … + a1nsn = b1

a21s1 + a22s2 + … + a2nsn = b2

am1s1 + am2s2 + … + amnsn = bm

 

Contoh 6

Diketahui sistem persamaan linier (SPL) berikut.

[pmath]delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{2x+y+4z=4} {x+y=1} {2x+5y+4z=12}}}{ }[/pmath]

Apakah x = -1, y = 2, dan z = 1 merupakan penyelesaian bagi SPL tersebut?

 

Jawab:

Substitusikan x = -1, y = 2, dan z = 1 ke dalam semua persamaan linier dalam SPL tersebut, diperoleh:

2(-1) + 2 + 4.1 = 4 (BENAR)

-1 + 2 = 1 (BENAR)

2(-1) + 5.2 + 4.1 = 12 (BENAR)

Karena x = -1, y = 2, dan z = 1 memenuhi semua persamaan dalam SPL itu, x = -1, y = 2, dan z = 1 merupakan penyelesaian dari SPL tersebut.

 

Contoh 7

Diketahui sistem persamaan linier (SPL) berikut.

[pmath]delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{2x+y+4z=4} {x+y=1} {3x+2y+4z=7}}}{ }[/pmath]

Apakah x = -1, y = 2, dan z = 1 merupakan penyelesaian bagi SPL tersebut?

 

Jawab:

Substitusikan x = -1, y = 2, dan z = 1 ke dalam semua persamaan linier dalam SPL tersebut, diperoleh:

2(-1) + 2 + 4.1 = 4 (BENAR)

-1 + 2 = 1 (BENAR)

3(-1) + 2.2 + 4.1 = 7 (SALAH)

Karena x = -1, y = 2, dan z = 1 tidak memenuhi suatu persamaan dalam SPL tersebut, x = -1, y = 2, dan z = 1 bukan penyelesaian dari SPL tersebut.

 

Contoh 8

Diketahui sistem persamaan linier (SPL) berikut.

[pmath]delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{2x+y+4z=4} {x+y=1} {x+4z=3}}}{ }[/pmath]

Apakah x = -1, y = 2, dan z = 1 merupakan penyelesaian bagi SPL tersebut?

 

Jawab:

Substitusikan x = -1, y = 2, dan z = 1 ke dalam semua persamaan linier dalam SPL tersebut, diperoleh:

2(-1) + 2 + 4.1 = 4 (BENAR)

-1 + 2 = 1 (BENAR)

-1 + 4.1 = 3 (BENAR)

Karena x = -1, y = 2, dan z = 1 memenuhi semua persamaan dalam SPL itu, x = -1, y = 2, dan z = 1 merupakan penyelesaian dari SPL tersebut.

 

Contoh 9

Apakah x = 3, y = -2, dan z = 0 merupakan penyelesaian bagi SPL pada Contoh 8?

 

Jawab:

Substitusikan x = 3, y = -2, dan z = 0 ke dalam semua persamaan linier dalam SPL tersebut, diperoleh:

2.3 + (-2) + 4.0 = 4 (BENAR)

3 + (-2) = 1 (BENAR)

3 + 4.0 = 3 (BENAR)

Karena x = 3, y = -2, dan z = 0 memenuhi semua persamaan dalam SPL itu, x = 3, y = -2, dan z = 0 merupakan penyelesaian dari SPL tersebut.

 

Apa yang dapat disimpulkan dari Contoh 6 sampai dengan Contoh 9? Sistem persamaan linier pada contoh-contoh tersebut memiliki aneka ragam banyaknya penyelesaian. SPL pada Contoh 6 memiliki hanya sebuah penyelesaian (baca post saya sebelumnya: Teknik Penyelesaian Sistem Persamaan Linier), pada Contoh 7 tidak memiliki penyelesaian. Dari Contoh 8 dan 9 dapat disimpulkan bahwa SPL tersebut memiliki lebih dari satu penyelesaian. Bahkan SPL pada kedua contoh tersebut memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian.

 

Bagaimana membuktikan SPL pada Contoh 7 tidak memiliki penyelesaian? Jumlahkan persamaan pertama (2x+y+4z=4) dengan persamaan kedua (x+y=1), diperoleh persamaan lain 3x + 2y + 4z = 5. Sedangkan persamaan ketiga dalam SPL tersebut menyatakan bahwa 3x+2y+4z=7. Jadi 5 = 7 (suatu pertentangan). Kita simpulkan SPL pada Contoh 7 ini tidak memiliki penyelesaian sama sekali.

 

Bagaimana membuktikan SPL pada Contoh 8 memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian?

Substitusikan sembarang t ∊ ℝ ke dalam x = -4t + 3, y = 4t – 2, dan z = t sehingga akan diperoleh tak berhingga banyaknya penyelesaian bagi SPL tersebut. Berapa pun nilai t, hasil substitusi x = -4t + 3, y = 4t – 2, dan z = t ke dalam SPL akan menghasil tiga pernyataan yang semuanya benar.

 

Secara umum, suatu sistem persamaan linier dapat:

  1. memiliki jawaban tunggal, tidak memiliki penyelesaian sama sekali, atau
  2. memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian, atau
  3. tidak memiliki penyelesaian sama sekali

dan tidak ada kemungkinan lainnya selain tiga kemungkinan tersebut di atas.

 

Apakah ada jenis sistem persamaan linier tertentu yang pasti memiliki penyelesaian?

Ada! Sistem persamaan linier yang homogen pasti memiliki penyelesaian. Sistem persamaan linier homogen dengan m buah persamaan linier dan n buah anu adalah sistem persamaan linier dengan bentuk umum sebagai berikut.

SPL homogen dapat dipastikan memiliki penyelesaian. x1 = x2 = … = xn = 0 merupakan suatu penyelesaian bagi SPL tersebut. Penyelesaian x1 = x2 = … = xn = 0 bagi suatu SPL homogen dinamakan penyelesaian trivial (trivial solution).

 

Tadi dikatakan bahwa suatu SPL homogen pasti memiliki penyelesaian, yaitu penyelesaian trivial. Apakah penyelesaian trivial suatu SPL homogen merupakan satu-satunya penyelesaian? Tidak! Sebagian SPL homogen hanya memiliki penyelesaian trivial, sebagian SPL lainnya memiliki penyelesaian lain selain penyelesaian trivial. SPL mana yang memiliki penyelesaian lain di samping penyelesaian trivial? Hal ini dijawab oleh dalil berikut.

 

Dalil

Suatu sistem persamaan linier homogen dengan lebih banyak anu daripada banyaknya persamaannya (n > m) memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian.

 

Contoh 10

Perhatikan SPL berikut:

[pmath]delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2x+y+4z+7t=0} {x+y-5t=0}}}{ }[/pmath]

Berapa banyak penyelesaian SPL tersebut?

 

Jawab:

SPL tersebut homogen dengan 2 persamaan (m = 2) dan 4 anu (n = 4, yaitu x, y, z, dan t). Karena banyaknya anu lebih besar dari banyaknya persamaan (n > m),  menurut dalil di atas SPL tersebut memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian.

 

Dalam suatu SPL homogen, bagaimana apabila n ≤ m?

Dalil di atas memberikan syarat cukup agar suatu SPL homogen memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian. Jadi, apabila n ≤ m, tidak dapat dipastikan apakah SPL tersebut hanya memiliki penyelesaian trivial atau memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian.

 

Contoh 11

Perhatikan SPL berikut.

[pmath]delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x+y=0}{3x-y=0}{5x+5y=0}}}{ }[/pmath]

Pada SPL tersebut, m = 3 dan n = 2, m > n. SPL ini memiliki hanya satu penyelesaian, yaitu x = 0 dan y = 0.

 

Contoh 12

Perhatikan SPL berikut.

[pmath]delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x+y=0}{-x-y=0}{2x+2y=0}}}{ }[/pmath]

Pada SPL tersebut, m = 3 dan n = 2, m > n. SPL ini memiliki tak berhingga banyaknya, yaitu x = -t dan y = t untuk t ∊ ℝ.

 

Dari Contoh 11 dan 12, dapat kita lihat bahwa suatu SPL yang memiliki lebih banyak persamaan daripada anu, dapat memiliki hanya satu penyelesaian (Contoh 11) namun dapat pula memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian (Contoh 12).

 

Contoh 13

Perhatikan SPL berikut.

[pmath]delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x+8y=0}{7x+13y=0}}}{ }[/pmath]

Pada SPL tersebut, m = 2 dan n = 2, m = n. SPL ini memiliki hanya satu penyelesaian, yaitu x = 0 dan y = 0.

 

Contoh 14

Perhatikan SPL berikut.

[pmath]delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x+8y=0}{2x+16y=0}}}{ }[/pmath]

Pada SPL tersebut, m = 2 dan n = 2, m = n. SPL ini memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian, yaitu x = -8t dan y = t untuk t ∊ ℝ.

 

Dari Contoh 13 dan 14, dapat kita lihat bahwa suatu SPL yang memiliki persamaan yang sama banyak dengan anu, dapat memiliki hanya satu penyelesaian (Contoh 13) namun dapat pula memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian (Contoh 14).

 

 

 

Tagging: , ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *