SALAH KAPRAH MENGENAI LIMIT TAK HINGGA

Oktober 15th, 2016

limit_th

 

 

Sebagian siswa SMA atau bahkan mahasiswa perguruan tinggi masih salah dengan menyatakan bahwa [pmath]lim{x right 0}{1/x} ~=~ infty[/pmath]. Ini salah! Mengapa salah dan seharusnya bagaimana? Mari kita bahas.

 

Untuk membahas ini, perhatikanlah suatu soal lain sebagai berikut.

Hitunglah [pmath]lim{x right 0}{1/{x^2}}[/pmath]

Coba perhatikan nilai-nilai [pmath]1/{x^2}[/pmath] di sekitar x = 0 (namun x ≠ 0). Lihat Tabel 1 di bawah ini.

 

Tabel 1

limit_tak_hingga_t1

Dari tabel tersebut dapat kita lihat bahwa apabila nilai x semakin mendekati nol namun x < 0 nilai 1/x2 senantiasa positif dan semakin besar nilainya tanpa batas. Ini dapat kita tuliskan sebagai:

[pmath]lim{x right 0^{-}}{1/{x^2}} ~=~ infty[/pmath]

Demikian pula dari arah yang lain, apabila nilai x semakin mendekati nol namun x > 0, juga nilai 1/x2 senantiasa positif dan semakin besar nilainya tanpa batas. Ini dituliskan sebagai:

[pmath]lim{x right 0^{+}}{1/{x^2}} ~=~ infty[/pmath]

Jadi, dari kedua arah, baik dari “arah kiri” maupun “arah kanan” nol, nilai 1/x2 selalu positif dan semakin besar (tanpa batas). Dalam hal ini kita boleh menuliskan:

[pmath]lim{x right 0}{1/{x^2}} ~=~ infty[/pmath]

 

Tetapi lain halnya dengan persoalan pertama kita, yaitu [pmath]lim{x right 0}{1/x}[/pmath]. Nilai-nilai 1/x “bergerak” pada arah yang berlainan apabila nilai x = 0 didekati dengan arah yang berbeda. Perhatikan Tabel 2 di bawah ini.

 

Tabel 2

 limit_tak_hingga_t2

Dari Tabel 2, dapat kita lihat bahwa apabila nilai x semakin mendekati nol namun x < 0 nilai 1/x senantiasa negatif dan semakin kecil nilainya tanpa batas. Ini dapat kita tuliskan sebagai:

[pmath]lim{x right 0^{-}}{1/x} ~=~ – ~ infty[/pmath] ……………………………………………………. (1)

Sedangkan dari arah yang lain, apabila nilai x semakin mendekati nol namun x > 0, nilai 1/x senantiasa positif dan semakin besar nilainya tanpa batas. Ini dituliskan sebagai:

[pmath]lim{x right 0^{+}}{1/x} ~=~ infty[/pmath] ……………………………………………………… (2)

Pada kasus ini, nilai 1/x bergerak dengan “arah” yang berlawanan, tergantung dari arah mana nilai x = 0 didekati. Jadi, yang boleh kita nyatakan adalah hanya (1) atau (2). Tanda – atau + harus disertakan dalam limit tersebut untuk menunjukkan dari arah mana x = 0 didekati!

 

Baru saja dijelaskan dengan “bantuan tabel” mengapa [pmath]lim{x right 0}{1/x} ~=~ infty[/pmath] salah.

 

Sekarang bagaimana pembuktiannya secara matematis pernyataan tersebut? Tentu kita memerlukan suatu definisi yang menerangkan arti [pmath]lim{x right a}{f(x)} ~=~ infty[/pmath].

 

Definisi 1

[pmath]lim{x right a}{f(x)} ~=~ infty[/pmath] jika untuk setiap M > 0 (seberapa pun besarnya) terdapat δ > 0 sedemikian hingga berlaku 0 < |x – a| < δ ⇒ f(x) > M.

 

bukti_salah

 

Sekarang, bagaimana membuktikan (1) dan (2)? Kita memerlukan dua buah definisi lagi.

 

Definisi 2

[pmath]lim{x right a^{+}}{f(x)} ~=~ infty[/pmath] jika untuk setiap M > 0 (seberapa pun besarnya) terdapat δ > 0 sedemikian hingga berlaku a < x < a + δ ⇒ f(x) > M.

 

Definisi 3

[pmath]lim{x right a^{-}}{f(x)} ~=~ – ~ infty[/pmath] jika untuk setiap M < 0 (seberapa pun kecilnya) terdapat δ > 0 sedemikian hingga berlaku a – δ < x < a ⇒ f(x) < M.

 

Dengan Definisi 2, sekarang akan dibuktikan (2), yaitu [pmath]lim{x right 0^{+}}{1/x} ~=~ infty[/pmath]. Ambil M > 0 sembarang. Pilih δ = 1/M. Akibatnya, jika 0 < x < δ maka 1/x > 1/δ = M. (terbukti)

 

Dengan Definisi 3, sekarang akan dibuktikan (1), yaitu [pmath]lim{x right 0^{-}}{1/x} ~= ~ – ~ infty[/pmath]. Ambil M < 0 sembarang. Pilih δ = – 1/M. Akibatnya, jika –δ < x < 0 maka 1/x < -1/δ = M (terbukti).

 

 



Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *