PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN (2)

November 27th, 2016

pgs_lingkaran_01 

Pada post saya sebelumnya telah dibahas bagaimana cara menentukan persamaan garis singgung pada suatu lingkaran, apabila gradien garis tersebut diketahui. Sekarang, bagaimana menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran apabila diketahui koordinat titik singgungnya?

 

Kasus 2: Garis singgung tersebut menyinggung lingkaran di (x1,y1)

Pada kasus ini, titik (x1,y1) terletak pada lingkaran dan titik ini merupakan titik singgungnya.

Misalkan lingkaran itu berpusat di O(0,0) dan berjari-jari R: x2 + y2 = R2.

Persamaan garis singgung di titik tersebut adalah:

x1x + y1y = R2         ………………………………………………………… (1)

 

Contoh 1

Diketahui lingkaran dengan persamaan x2 + y2 = 5. Suatu garis menyinggung lingkaran ini di titik yang berkoordinat (2,1). Tentukan persamaan garis singgung tersebut.

 

Jawab:

Titik berkoordinat (2,1) terletak pada lingkaran ini. Karena titik ini merupakan titik singgung, kita dapat menerapkan (1) untuk menentukan persamaan garis singgungnya. Substitusikan R2 = 5, x1 = 2 dan y1 = 1 ke dalam (1), diperoleh:

2x + y = 5

Jadi, persamaan garis singgung di titik (2,1) adalah 2x + y = 5. (Gambar 1)

pgs_lingkaran_01

Gambar 1

 

Contoh 2

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 8 di titik yang berabsis -2.

 

Jawab:

Untuk mencari ordinat titik singgung itu, substitusikan x = -2 ke dalam persamaan lingkaran, diperoleh:

(-2)2 + y2 = 8

y2 – 4 = 0

⇔ (y – 2)(y + 2) = 0

Ada dua nilai y yang mungkin, yaitu y = 2 atau y = -2. Jadi, pada contoh ini ada dua titik singgung, yaitu P(-2,2) dan Q(-2,-2).

Untuk menentukan persamaan garis singgung di P, substitusikan R2 = 8, x = -2 dan y = 2 ke dalam (1), diperoleh:

-2x + 2y = 8

xy = -4

Untuk menentukan persamaan garis singgung di Q, substitusikan R2 = 8, x = -2 dan y = -2 ke dalam (1), diperoleh:

-2x – 2y = 8

x + y = -4

Jadi, ada dua garis singgung di titik yang berabsis -2, yaitu garis-garis:

g1xy = -4

g2x + y = -4

(Lihat Gambar 2.)

pgs_lingkaran_02

Gambar 2

 

Sekarang, bagaimana apabila lingkaran tersebut berpusat di (α,β) dan kita diminta untuk menentukan garis singgung di suatu titik berkoordinat (x1,y1) pada lingkaran tersebut?

 

Persamaan garis singgung pada lingkaran (xα)2 + (yβ)2 = R2 di titik singgung yang berkoordinat (x1,y1) adalah:

(x1α)(xα) + (y1β)(yβ) = R2   ………………………………………………………………………. (2)

 

Catatan:

Untuk menggunakan (1) atau (2), harus dipastikan terlebih dahulu bahwa titik berkoordinat (x1,y1) itu terletak pada lingkaran yang diketahui. Apabila titik tersebut tidak terletak pada lingkaran, penggunaan (1) atau (2) tidak akan memberikan persamaan garis singgung di titik tersebut!

 

Contoh 3

Suatu lingkaran L berpusat di (2,1) dan berjari-jari 5. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran itu yang melalui titik P(5,5).

 

Jawab:

Persamaan lingkaran yang berpusat di (2,1) dan berjari-jari 5 adalah (x – 2)2 + (y – 1)2 = 52. Jadi,

L ≡ (x – 2)2 + (y – 1)2 = 25 ……………………………………………………………………………….. (*)

Dengan mensubstitusikan x = 5 dan y = 5 ke dalam (*), kita peroleh bahwa P terletak pada L. Dalam hal ini, P merupakan titik singgung suatu garis pada L. Karena itu, untuk menentukan persamaan garis singgungnya, kita boleh menggunakan (2). Substitusikan α = 2, β = 1, x1 = 5, y1 = 5, dan R2 = 25 ke dalam (2), diperoleh:

(5 – 2)(x – 2) + (5 – 1)(y – 1) = 25

⇔ 3(x – 2) + 4(y – 1) = 25

⇔ 3x + 4y = 35

Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran itu yang melalui titik P adalah 3x + 4y = 35.

pgs_lingkaran_03

Gambar 3

 

 

 

Tagging: ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *