PEMBUKTIAN RUMUS REDUKSI INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

Bagaimana apabila Anda diminta untuk menyelesaikan misalnya ∫sin²⁰ x dx atau ∫cos³⁵ x dx? Untuk menyelesaikan ini, Anda dapat menggunakan teknik-teknik integrasi yang pernah saya muat di posting terdahulu. Dapat juga integral semacam itu diselesaikan dengan teknik integral parsial dan itu akan memakan waktu cukup lama. Dengan rumus-rumus reduksi pada posting saya kali ini, integral semacam tadi lebih cepat diselesaikan. Perhatikan rumus-rumus reduksi berikut ini.

Rumus 1:[pmath]int{ }{ }{{sin}^n u~du}={-1}/n {sin}^{n-1}u.cos{u}+{n-1}/n int{ }{ }{{sin}^{n-2}u~du}[/pmath]

Rumus 2:[pmath]int{ }{ }{{cos}^n u~du}=1/n {cos}^{n-1}u.sin{u}+{n-1}/n int{ }{ }{{cos}^{n-2}u~du}[/pmath]

Rumus 3:[pmath]int{ }{ }{{tan}^n u~du}=1/{n-1} {tan}^{n-1}u-int{ }{ }{{tan}^{n-2}u~du}[/pmath]; n ≠ 1

Rumus 4:[pmath]int{ }{ }{{cot}^n u~du}={-1}/{n-1} {cot}^{n-1}u-int{ }{ }{{cot}^{n-2}u~du}[/pmath]; n ≠ 1

Rumus 5:[pmath]int{ }{ }{{sec}^n u~du}=1/{n-1} {sec}^{n-2}u.{tan}u+{n-2}/{n-1} int{ }{ }{{sec}^{n-2}u~du}[/pmath]; n ≠ 1

Rumus 6:[pmath]int{ }{ }{{csc}^n u~du}={-1}/{n-1} {csc}^{n-2}u.{cot}u+{n-2}/{n-1} int{ }{ }{{csc}^{n-2}u~du}[/pmath]; n ≠ 1

 

Pembuktian rumus-rumus reduksi tersebut (kecuali Rumus 3 dan Rumus 4) adalah menggunakan teknik integral parsial ∫p dq = pq – ∫q dp

 

Pembuktian Rumus 1: (menggunakan integral parsial)

Untuk membuktikan Rumus 1, nyatakan ∫sinⁿ u du sebagai ∫sin^n-1 u.sin u du. Selanjutnya, kita misalkan p = sin^n-1 u dan dq = sin u du. Dengan demikian q = -cos u dan dp = (n-1)sin^n-2 u.cos u du sehingga:

∫sinⁿ u du = ∫sin^n-1 u.sin u du = -sin^n-1u.cos u + (n-1)∫sin^n-2 u.cos² u du.

Dengan substitusi cos² u = 1 – sin² u, diperoleh:

∫sinⁿ u du = -sin^n-1u.cos u + (n-1)∫sin^n-2 u du – (n-1)∫sinⁿ u du

n∫sinⁿ u du = -sin^n-1u.cos u + (n-1)∫sin^n-2 u du

[pmath]int{ }{ }{{sin}^n u~du}={-1}/n {sin}^{n-1}u.cos{u}+{n-1}/n int{ }{ }{{sin}^{n-2}u~du}[/pmath]

 

Pembuktian Rumus 2: (menggunakan integral parsial)

Untuk membuktikan Rumus 2, nyatakan ∫cosⁿ u du sebagai ∫cos^n-1 u.cos u du. Selanjutnya, kita misalkan p = cos^n-1 u dan dq = cos u du. Dengan demikian q = sin u dan dp = -(n-1)cos^n-2 u.sin u du sehingga:

∫cosⁿ u du = ∫cos^n-1 u.cos u du = cos^n-1u.sin u + (n-1)∫cos^n-2 u.sin² u du.

Dengan substitusi sin² u = 1 – cos² u, diperoleh:

∫cosⁿ u du = cos^n-1u.sin u + (n-1)∫cos^n-2 u du – (n-1)∫cosⁿ u du

n∫cosⁿ u du = cos^n-1u.sin u + (n-1)∫cos^n-2 u du

[pmath]int{ }{ }{{cos}^n u~du}=1/n {cos}^{n-1}u.sin{u}+{n-1}/n int{ }{ }{{cos}^{n-2}u~du}[/pmath]

 

Pembuktian Rumus 3:

Untuk membuktikan Rumus 3, nyatakan ∫tanⁿ u du sebagai ∫tan^n-2 u.tan² u du. Selanjutnya, substitusikan tan² u = sec² u – 1 sehingga integral tersebut menjadi ∫tan^n-2 u.(sec² u – 1) du. Selanjutnya,

∫tanⁿ u du = ∫tan^n-2 u.(sec² u – 1) du = ∫tan^n-2 u.sec² u du – ∫tan^n-2 u du

[pmath]int{ }{ }{{tan}^n u~du}=1/{n-1} {tan}^{n-1}u-int{ }{ }{{tan}^{n-2}u~du}[/pmath]

 

Pembuktian Rumus 4:

Untuk membuktikan Rumus 4, nyatakan ∫cotⁿ u du sebagai ∫cot^n-2 u.cot² u du. Selanjutnya, substitusikan cot² u = csc² u – 1 sehingga integral tersebut menjadi ∫cot^n-2 u.(csc² u – 1) du. Selanjutnya,

∫cotⁿ u du = ∫cot^n-2 u.(csc² u – 1) du = ∫cot^n-2 u.csc² u du – ∫cot^n-2 u du

[pmath]int{ }{ }{{cot}^n u~du}={-1}/{n-1} {cot}^{n-1}u-int{ }{ }{{cot}^{n-2}u~du}[/pmath]

 

Pembuktian Rumus 5: (menggunakan integral parsial)

Untuk membuktikan Rumus 5, nyatakan ∫secⁿ u du sebagai ∫sec^n-2 u.sec² u du. Selanjutnya, kita misalkan p = sec^n-2 u dan dq = sec² u du. Dengan demikian q = tan u dan dp = (n-2)sec^n-3 u.(sec u.tan u) du = (n-2)sec^n-2 u.tan u du sehingga:

∫secⁿ u du = ∫sec^n-2 u.sec² u du = sec^n-2 u.tan u – (n-2)∫sec^n-2 u.tan² u du

Dengan substitusi tan² u = sec² u – 1, diperoleh:

∫secⁿ u du = sec^n-2 u.tan u – (n-2)∫secⁿ u du + (n-2)∫sec^n-2 u du

(n-1)∫secⁿ u du = sec^n-2 u.tan u + (n-2)∫sec^n-2 u du

[pmath]int{ }{ }{{sec}^n u~du}=1/{n-1} {sec}^{n-2}u.{tan}u+{n-2}/{n-1} int{ }{ }{{sec}^{n-2}u~du}[/pmath]

 

Pembuktian Rumus 6: (menggunakan integral parsial)

Untuk membuktikan Rumus 6, nyatakan ∫cscⁿ u du sebagai ∫csc^n-2 u.csc² u du. Selanjutnya, kita misalkan p = csc^n-2 u dan dq = csc² u du. Dengan demikian q = -cot u dan dp = (n-2)csc^n-3 u.(-csc u.cot u) du = -(n-2)csc^n-2 u.cot u du sehingga:

∫cscⁿ u du = ∫csc^n-2 u.csc² u du = -csc^n-2 u.cot u – (n-2)∫csc^n-2 u.cot² u du

Dengan substitusi cot² u = csc² u – 1, diperoleh:

∫cscⁿ u du = -csc^n-2 u.cot u – (n-2)∫cscⁿ u du + (n-2)∫csc^n-2 u du

(n-1)∫cscⁿ u du = -csc^n-2 u.cot u + (n-2)∫csc^n-2 u du

[pmath]int{ }{ }{{csc}^n u~du}={-1}/{n-1} {csc}^{n-2}u.{cot}u+{n-2}/{n-1} int{ }{ }{{csc}^{n-2}u~du}[/pmath]

 

Contoh penerapan rumus-rumus reduksi tersebut dapat dipelajari di tautan berikut: (tautan belum tersedia)

 

 

 

 

 

 

Most visitors also read :

BERKENALAN DENGAN NILAI DAN VEKTOR EIGEN



DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SINGULAR VALUE DECOMPOSITION)



MATRIKS AKAR KUADRAT



SOAL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA