PELUANG BERSYARAT DAN KEJADIAN SALING BEBAS (2)

April 24th, 2017

Contoh 3

Satu buah kartu diambil secara acak dari 1 set kartu bridge. Berapa peluang terambilnya kartu Jack apabila kartu tersebut kartu dengan buah diamond?

 

Jawab:

Misalkan A = kejadian terambilnya kartu dengan buah diamond dan B = kejadian terambilnya kartu Jack (J). Ruang sampel dalam eksperimen ini adalah S = {2♠, 3♠, 4♠, 5♠, 6♠, 7♠, 8♠, 9♠, 10♠, J♠, Q♠, K♠, A♠, 2♣, 3♣, 4♣, 5♣, 6♣, 7♣, 8♣, 9♣, 10♣, J♣, Q♣, K♣, A♣, 2♥, 3♥, 4♥, 5♥, 6♥, 7♥, 8♥, 9♥, 10♥, J♥, Q♥, K♥, A♥, 2♦, 3♦, 4♦, 5♦, 6♦, 7♦, 8♦, 9♦, 10♦, J♦, Q♦, K♦, A♦}. Selanjutnya, A = {2♦, 3♦, 4♦, 5♦, 6♦, 7♦, 8♦, 9♦, 10♦, J♦, Q♦, K♦, A♦}, B = {J♠, J♣, J♥, J♦}, dan A∩B = {J♦}. Karena |A| = 13, |B| = 4, |A∩B| = 1, dan |S| = 52, diperoleh P(A) = 13/52 = 1/4 dan P(A∩B) = 1/52 sehingga:

Jadi, peluang terambilnya kartu Jack apabila kartu tersebut kartu dengan buah diamond adalah 1/13.

 

Mari kita perhatikan Contoh 3 di atas. Berapakah P(B)? Karena |B| = 4 dan |S| = 52, P(B) = 1/13. Dalam hal ini P(B|A) = P(B); peluang terjadinya B jika diketahui A terjadi sama dengan peluang terjadinya B. Terjadinya A tidak berakibat berubahnya peluang terjadinya B. Ini menunjukkan bahwa A tidak berhubungan dengan B. Dalam “bahasa statistika”, kita katakan A dan B saling bebas (statistically independent). Kini kita tiba pada definisi berikut.

 

Definisi [Kejadian Saling Bebas]

Dua buah kejadian A dan B saling bebas (independent) jika dan hanya jika P(B|A) = P(B). Dalam keadaan lainnya, A dan B dikatakan tidak saling bebas (dependent).

 

Contoh 4

Perhatikan Contoh 1 (pada post sebelumnya). Apakah A dan B saling bebas?

 

Jawab:

Pada contoh tersebut, B = {(4,6), (5,5), (6,4), (5,6), (6,5), (6,6)} sehingga |B| = 6 dan P(B) = 6/36 = 1/6 ≠ P(B|A). Karena P(B) ≠ P(B|A), kita simpulkan A dan B tidak saling bebas. Jadi, kejadian dadu pertama memunculkan sisi dengan 6 buah mata dadu ada kaitan/hubungannya dengan kejadian muncul jumlah mata dadu sebanyak lebih dari 9.

 

Contoh 5

Perhatikan Contoh 2 (pada post sebelumnya). Apakah A dan B saling bebas?

 

Jawab:

Pada contoh tersebut, B = {AGG, GAG, GGA} sehingga |B| = 3 dan P(B) = 3/8 ≠ P(B|A). Karena P(B) ≠ P(B|A), kita simpulkan A dan B tidak saling bebas. Jadi, kejadian uang logam pertama memunculkan sisi Angka ada kaitan/hubungannya dengan kejadian muncul tepat 2 buah sisi Gambar.

 

Teorema

Misalkan A dan B masing-masing merupakan kejadian.

A dan B saling bebas jika dan hanya jika P(A∩B) = P(A).P(B).

 

Contoh 6

Terdapat dua buah kotak. Kotak I memuat 1 buah bola kuning dan 2 buah bola hijau. Kotak II memuat 2 buah bola kuning dan 2 buah bola hijau. Dari masing-masing kotak diambil sebuah bola secara acak. Misalkan A = kejadian terambilnya bola kuning dari Kotak I dan B = kejadian terambilnya bola hijau dari Kotak II. Apakah A dan B saling bebas?

 

Jawab:

Misalkan bola-bola pada Kotak I diberi nama K1, H1, H2 dan bola-bola di Kotak II diberi nama K2, K3, H3, H4. (K menunjukkan warna kuning dan H warna hijau.) Dengan demikian, ruang sampel pada eksperimen ini dapat dinyatakan sebagai S = {(K1,K2), (K1,K3), (K1,H3), (K1,H4), (H1,K2), (H1,K3), (H1,H3), (H1,H4), (H2,K2), (H2,K3), (H2,H3), (H2,H4)}. Perhatikan bahwa A = {(K1,K2), (K1,K3), (K1,H3), (K1,H4)}, B = {(K1,H3), (K1,H4), (H1,H3), (H1,H4), (H2,H3), (H2,H4)}, dan A∩B = {(K1,H3), (K1,H4)}. Karena |S| = 12, |A| = 4, |B| = 6, dan |A∩B| = 2, diperoleh P(A) = 4/12 = 1/3, P(B) = 6/12 = 1/2, dan P(A∩B) = 2/12 = 1/6. Perhatikan bahwa dalam kasus ini, P(A∩B) = P(A).P(B) [yaitu 1/6 = (1/3).(1/2)]. Jadi, menurut teorema di atas, A dan B saling bebas. Tidak ada hubungan/kaitannya antara terambilnya bola kuning dari Kotak I dengan terambilnya bola hijau dari Kotak II.

Tagging: ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *