OPTIMASI FUNGSI DUA VARIABEL MENGGUNAKAN TURUNAN PARSIAL

April 9th, 2017

Kita awali post kali ini dengan suatu teorema penting yang menjamin keberadaan nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi dengan dua variabel, apabila fungsi tersebut memenuhi syarat-syarat tertentu.

 

Teorema 1 (Keberadaan Nilai Ekstrim)

Misalkan f suatu fungsi yang didefinisikan pada A ⊆ ℝ2 dan memiliki ℝ sebagai daerah kawannya. Jika A merupakan suatu himpunan tutup yang terbatas maka f memiliki nilai maksimum dan nilai minimum di A.

 

Sekarang, misalkan f dan A memenuhi semua kondisi yang dipersyaratkan pada Teorema 1, sehingga f memiliki kedua nilai ekstrim. Bagaimana kita dapat menentukan di mana nilai-nilai ekstrim tersebut dicapai?

 

Teorema 2

Jika P(x0,y0) merupakan suatu titik di mana f(x0,y0) merupakan nilai ekstrim maka P haruslah merupakan titik kritis f di A. Titik kritis tersebut mungkin merupakan titik batas A, titik stasioner, atau titik singular f.

 

Catatan

Jika f diferensiabel di P. Jika di P {partial f}/{partial x} ~=~ 0 dan {partial f}/{partial y} ~=~ 0 maka P dinamakan titik stasioner dari f. Namun jika f tidak diferensiabel di P maka P dinamakan titik singular.

 

Jika P merupakan suatu titik stasioner dari f, bagaimana kita dapat menentukan apakah f(P) merupakan suatu nilai maksimum lokal atau minimum lokal?

 

Teorema 3 (Uji Turunan Parsial Kedua)

Misalkan f memiliki turunan parsial kedua yang kontinu di suatu lingkungan dari (x0,y0) dan misalkan fx(x0,y0) = 0 dan fy(x0,y0) = 0. Definisikan D = D(x0,y0) = fxx(x0,y0).fyy(x0,y0) – fxy2(x0,y0). Maka berlakukah hal-hal berikut:

Jika D > 0 dan fxx(x0,y0) < 0 maka f(x0,y0) merupakan maksimum lokal.

Jika D > 0 dan fxx(x0,y0) > 0 maka f(x0,y0) merupakan minimum lokal.

Jika D < 0 maka f(x0,y0) bukan merupakan suatu nilai ekstrim; (x0,y0) merupakan titik pelana.

Jika D = 0 maka pengujian ini tidak memberikan kesimpulan.

 

Catatan

f_{x} ~=~ {partial f}/{partial x} dan f_{y} ~=~ {partial f}/{partial y}

f_{xx} ~=~ {{partial}^2 f }/{partial x^2}

f_{yy} ~=~ {{partial}^2 f }/{partial y^2}

f_{xy} ~=~ {{partial}^2 f}/{partial y ~ partial x}

 

Teorema 2 dan Teorema 3 memberikan kita pedoman bagaimana mencari nilai maksimum lokal dan nilai minimum lokal suatu fungsi. Berikut ini diberikan contoh-contoh bagaimana pencarian nilai ekstrim lokal dilakukan.

 

Contoh 1

Diketahui z = f(x,y) = 4x2 + y2 – 4y. Tentukanlah nilai-nilai ekstrim lokalnya dan jenisnya.

 

Jawab

{partial z}/{partial x} ~=~ 8x

{partial z}/{partial y} ~=~ 2y ~-~ 4

Misalkan P adalah titik stasioner fungsi tersebut. Untuk menentukan koordinat P, bentuk persamaan-persamaan {partial z}/{partial x} ~=~ 0 dan {partial z}/{partial y} ~=~ 0 sehingga diperoleh x = 0 dan y = 2. Jadi, P(0,2).

Untuk menentukan jenis titik stasioner tersebut, kita gunakan Teorema 3.

zxx = 8

zxy = 0

zyy = 2

D = zxx.zyy – zxy2 = 8.2 – 02 = 16 > 0

Karena D> 0 dan fxx > 0 maka P(0,2) menghasilkan nilai minimum lokal.

Nilai minimum lokal tersebut adalah z = f(0,2) = 4.02 + 22 – 4.2 = -4.

 

Contoh 2

Diketahui z = f(x,y) = 2x4 – x2 + 3y2. Tentukanlah nilai-nilai ekstrim lokalnya dan jenisnya.

 

Jawab

{partial z}/{partial x} ~=~ 8x^3 ~-~ 2x

{partial z}/{partial y} ~=~ 6y

Misalkan P adalah titik stasioner fungsi tersebut. Untuk menentukan koordinat P, bentuk persamaan-persamaan {partial z}/{partial x} ~=~ 0 dan {partial z}/{partial y} ~=~ 0.

Karena zx = 8x3 – 2x = 2x(4x2 – 1) = 2x(2x +1)(2x – 1) = 0, ada tiga kemungkinan bagi x, yaitu x = 0, x = ½, atau x = – ½.

zy = 6y = 0 memberikan y = 0.

Jadi, ada tiga buah titik stasioner, yaitu A(0,0), B(½,0), dan C(-½,0).

Untuk menentukan jenis ketiga titik stasioner tersebut, kita gunakan Teorema 3.

zxx = 24x2 – 2

zxy = 0

zyy = 6

D = zxx.zyy – zxy2 = (24x2 – 2).6 – 02 = 12(12x2 – 1).

Jadi, D = D(x,y) = 12(12x2 – 1)

Untuk menguji A(0,0), substitusikan x = 0 dan y = 0 ke dalam D(x,y) dan zxx, diperoleh D = -12 < 0. Karena D < 0, menurut Teorema 3, A(0,0) merupakan titik pelana. [f(0,0) = 0 bukan merupakan nilai minimum lokal maupun maksimum lokal.]

Untuk menguji B(½,0), substitusikan x = ½ dan y = 0 ke dalam D(x,y) dan zxx, diperoleh D = 24 > 0 dan zxx = 4 > 0. Karena D > 0 dan zxx > 0, dari Teorema 3 dapat disimpulkan bahwa B(½,0) menghasilkan nilai minimum lokal. Nilai minimum lokal tersebut adalah z = f(½,0) = 2(½)4 – (½)2 + 3.02 = -0,125.

Untuk menguji C(-½,0), substitusikan x = -½ dan y = 0 ke dalam D(x,y) dan zxx, diperoleh D = 24 > 0 dan zxx = 4 > 0. Karena D > 0 dan zxx > 0, dari Teorema 3 dapat disimpulkan bahwa C(-½,0) menghasilkan nilai minimum lokal. Nilai minimum lokal tersebut adalah z = f(-½,0) = 2(-½)4 – (-½)2 + 3.02 = -0,125.

 

LATIHAN SOAL

Latihan Optimasi Fungsi Dua Variabel di Bidang Ekonomi

Tagging: , , , , , , , ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *