MUNGKINKAH SATU SAMA DENGAN NOL?

Juni 19th, 2016

Pertanyaan pada judul tulisan ini memang tidak lazim ditanyakan orang pada umumnya. Anak-anak di tingkat Sekolah Dasar, Sekolah Menengah Pertama, dan jenjang-jenjang pendidikan selanjutnya akan membantah, “Tidak mungkin satu sama dengan nol!”

 

Lain halnya apabila pertanyaan tersebut ditanyakan kepada seorang yang pernah mempelajari aljabar abstrak. Bisa jadi Anda akan mendapatkan jawaban yang lain. Tulisan ini memperkenalkan konsep ring dalam matematika. Ring tersebut diterjemahkan oleh sebagian penulis menjadi gelanggang, walaupun sebagian penulis lain tidak menerjemahkan istilah itu. Dalam tulisan ini, ring tidak diterjemahkan menjadi gelanggang. Tulisan ini tak lain bertujuan memperkenalkan salah satu topik yang biasa dibahas di program-program studi Matematika jenjang sarjana (Strata 1).

 

Definisi Ring

Suatu himpunan tak kosong R disebut suatu ring jika di dalam R didefinisikan dua buah operasi biner yang dilambangkan dengan + dan ⋅ sedemikian hingga untuk setiap a, b, c ∊ R berlaku hal-hal berikut:

  1. a + b ∊ R
  2. a + b = b + a
  3. (a + b) + c = a + (b + c)
  4. Terdapat elemen 0 ∊ R sedemikian hingga a + 0 = a untuk setiap a ∊ R
  5. Untuk setiap a ∊ R terdapat elemen –a ∊ R sedemikian hingga a + (-a) = 0
  6. ab ∊ R
  7. a (bc) = (ab) ⋅ c
  8. a ⋅ (b + c) = ab + ac dan (b + c) ⋅ a = ba + ca

Operasi + yang terdapat pada syarat 1 sampai dengan 4 biasa dinamakan operasi tambah, sedangkan operasi ⋅ pada syarat 6 sampai dengan 8 biasa dinamakan operasi kali. Ring R dengan operasi tambah + dan operasi kali ⋅ biasa dilambangkan dengan (R,+,-).

 

Apakah himpunan semua bilangan asli, ℕ, dengan operasi tambah (+) dan kali (∙) konvensional merupakan suatu ring? Dalam ℕ tidak ada unsur identitas terhadap penjumlahan (yaitu 0), melanggar syarat ke-4 di atas, sehingga ℕ dengan kedua operasi tersebut tidak membentuk suatu ring.

 

Lain halnya dengan himpunan semua bilangan bulat, ℤ, dengan operasi tambah (+) dan kali (∙) konvensional. (ℤ,+,∙) memenuhi semua syarat (1 sampai dengan 8) di atas, sehingga (ℤ,+,∙) merupakan suatu ring. Anda dapat memahami sendiri bahwa ℚ dan ℝ pun, dengan operasi tambah dan kali konvensional, merupakan suatu ring.

 

Dalam ℤ terdapat unsur identitas terhadap perkalian, yang dilambangkan dengan 1. Untuk setiap a ∊ ℤ berlaku a.1 = 1.a = a. Namun tidak semua ring memiliki unsur identitas terhadap perkalian ini. Sebagai contoh, perhatikan himpunan 2ℤ ≝ {2xx ∊ ℤ}. Himpunan 2ℤ memenuhi kedelapan syarat ring, namun 1 ∉ 2ℤ. Dalam suatu ring (R,+,), jika terdapat 1 R sedemikian hingga berlaku 1.a = a.1 = a maka (R,+,) dinamakan suatu ring dengan identitas atau ring dengan unsur satu.

 

Dalam suatu ring, operasi tambah harus bersifat komutatif (syarat ke-2), namun operasi kali tidak harus bersifat komutatif. Perhatikan himpunan M2 yang didefinisikan sebagai berikut.

Matriks_M2

M2 merupakan himpunan semua matriks bujursangkar berordo 2 yang semua unsurnya merupakan bilangan nyata. Dapat ditunjukkan bahwa (M2,+,∙) merupakan suatu ring. Jika A, B ∊ M2, secara umum berlaku A∙B ≠ B∙A, sehingga (M2,+,∙) bukanlah suatu ring komutatif. Suatu ring (R,+,) dikatakan merupakan suatu ring komutatif apabila untuk setiap a, b R berlaku ab = ba.

 

Ring yang paling sederhana adalah ring trivial (R,+,∙) dengan R = {e}, yaitu suatu himpunan yang memuat satu buah anggota saja, yang dilambangkan dengan e. Operasi tambah dalam R didefinisikan sebagai e + e = e dan operasi kali didefinisikan sebagai e∙e = e. Dengan pendefinisian seperti ini, mudah dibuktikan bahwa R suatu ring dengan identitas. Karena e + e = e, tentu berlaku e = 0 (sebagai akibat syarat 4) dan karena e.e = e tentu berlaku e = 1 sehingga 0 = 1!

 

0 = 1 hanya berlaku dalam ring trivial. Jika (R,+,∙) suatu ring yang memuat lebih dari satu buah anggota, ring tersebut dinamakan suatu ring nontrivial. Apakah mungkin terjadi dalam suatu ring nontrivial 0 = 1? Dalam suatu ring nontrivial, 0 ≠ 1. Sebagai bukti, kita misalkan (R,+,∙) suatu ring nontrivial. Ambil x ∊ R sembarang. Seandainya 0 = 1, x = x∙1 = x∙0 = 0. [Pembuktian x.0 = 0 dibuktikan di tautan kedua di bagian akhir tulisan ini.] Karena x ∊ R sembarang dan x = 0, semua anggota R adalah 0; dengan kata lain R merupakan ring trivial. Ini kontradiksi dengan pemisalan semula bahwa (R,+,∙) suatu ring nontrivial. Jadi, dalam suatu ring nontrivial, 0 1.

 

Hal-hal yang terkait dengan tulisan ini dapat dipelajari di tautan-tautan berikut:

  1. Pengantar Teori Grup (Group Theory) : (tautan belum tersedia)
  2. Pembuktian Beberapa Sifat Ring
  3. Ring suku banyak/Polynomial Rings : (tautan belum tersedia)
  4. Matriks: Operasi-operasi dan Hukum-hukumnya : (tautan belum tersedia)
Tagging: , ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *