METODE SEL SILINDER UNTUK MENGHITUNG VOLUME BENDA PUTAR

September 11th, 2016

Salah satu materi matematika di Sekolah Menengah Atas Jurusan IPA adalah menghitung volume benda putar dengan teknik integral tentu (definite integral) atau integral Riemann. Mungkin sebagian siswa “kerepotan” untuk menghitung volume benda putar yang dibentuk dengan memutar suatu bidang datar terhadap sumbu y, sedangkan bidang yang diputar tersebut dibatasi suatu kurva dengan persamaan y = f(x). Apabila bidang tersebut dibatasi dengan suatu kurva dengan persamaan y = f(x), penghitungan volume benda putar sebagai hasil perputaran bidang terhadap sumbu y akan memerlukan penghitungan f -1(x) (fungsi invers) terlebih dahulu. Kadang penghitungan fungsi invers ini pun tidak mudah. Cara yang disajikan pada posting ini barangkali bisa membantu.

 

Volume benda putar yang dibatasi a) kurva y = f(x) ≥ 0, b) sumbu x, c) garis x = a, dan d) garis x = b (0 ≤ a < b atau a < b ≤ 0) adalah: V=2 pi int{a}{b}{x f(x)~dx}

 

Contoh 1:

Diketahui suatu bidang datar yang dibatasi oleh: a) kurva y = x + cos x, b) sumbu y, c) sumbu x, dan d) garis x = π. Bidang tersebut diputar 3600 terhadap sumbu y. Tentukanlah volume benda putar yang terjadi.

 

Jawab:

Apabila digambarkan, bidang yang nantinya diputar adalah sebagai berikut.

selsin_1

Gambar 1

 

Dengan rumus di atas, kita peroleh:

V=2 pi int{0}{pi}{x(x+cos{x})~dx}=2 pi int{0}{pi}{(x^2+x cos{x})~dx}= 2 pi delim{[}{{x^3}/3+x sin{x}+cos{x}}{]} matrix{3}{1}{pi ~ 0}

V=2 pi int{0}{pi}{x(x+cos{x})~dx}={2/3}{pi}^4-4 pi

 

Contoh di atas merupakan suatu contoh “ekstrim”, di mana dalam kasus tersebut kita tidak dapat menentukan rumus bagi fungsi inversnya. Contoh berikutnya merupakan suatu contoh mengenai soal yang dapat dikerjakan dengan dua cara, yaitu dengan cara mengintegralkan fungsi inversnya (integrasi terhadap y) dan dengan cara sel silinder ini. Bandingkan bagaimana metode sel silinder ini lebih memudahkan.

 

Contoh 2:

Diketahui suatu bidang datar yang dibatasi oleh sumbu x, sumbu y, garis x = 3, dan kurva dengan persamaan y = 4 + 2xx2. Bidang tersebut diputar terhadap sumbu y. Tentukanlah volume benda putar yang terjadi.

 

Jawab

Apabila digambarkan, bidang yang dimaksud adalah sebagai berikut.

selsin_2

Gambar 2

 

Dengan metode sel silinder, volume benda putar yang terbentuk dihitung sebagai berikut.

V=2 pi int{0}{3}{x(4+2x-x^2)~dx}=2 pi int{0}{3}{(4x+2x^2-x^3)~dx}

V= 2 pi delim{[}{2x^2+2/3 x^3-1/4 x^4}{]} matrix{3}{1}{3 ~ 0}=31,5 pi

 

Apabila Contoh 2 dikerjakan dengan melakukan integrasi terhadap y, volume benda putar ini dihitung sebagai berikut.

selsin_3

Gambar 3

 

Volume yang diminta soal ini merupakan penjumlahan tiga volume benda putar yang dihasilkan dari perputaran tiga bidang (bidang I, II, dan IIII pada Gambar 3) terhadap sumbu y. Apabila bidang III diputar 3600 terhadap sumbu y, diperoleh suatu tabung dengan volume V_{III}=pi.{3^2}.1 = 9 pi. Untuk menghitung volume benda putar yang dihasilkan dari perputaran bidang II terhadap sumbu y, perlu dicari dulu rumus fungsi invers yang berkaitan dengan batas bidang II, yaitu x=1+sqrt{5-y} sehingga volume yang dihasilkan perputaran bidang II adalah sebesar:

V_{II}=pi int{1}{4}{(1+sqrt{5-y})^2~dy}=pi int{1}{4}{(6-y+2 sqrt{5-y})~dy}

V_{II}=delim{[}{6y-{1/2}y^2-{4/3}(5-y)^{1,5}}{]} matrix{3}{1}{4 ~ 1}=19{5/6} pi

Sekarang, tinggal menghitung volume benda putar yang dihasilkan dari perputaran bidang I terhadap sumbu y. Perhatikan bahwa lengkungan yang menjadi batas bidang I terdiri dari dua bagian, yaitu lengkungan biru dengan persamaan x=1-sqrt{5-y} dan lengkungan merah dengan persamaan x=1+sqrt{5-y} sehingga volume benda putar yang dihasilkan dari perputaran bidang I terhadap sumbu y adalah sebesar:

V_{I}=pi int{4}{5}{((1+sqrt{5-y})^2-(1-sqrt{5-y})^2)~dy}=pi int{4}{5}{4 sqrt{5-y} dy}

V_{I}=pi delim{[}{-~{8/3}(5-y)^{1,5}}{]} matrix{3}{1}{5 ~ 4}={8 pi}/3

Akhirnya, volume yang diminta soal ini adalah V=V_{I}+V_{II}+V_{III}={8 pi}/3+19{5/6} pi+9 pi=31,5 pi.

 

Tampak bahwa dalam kasus seperti ini, metode sel silinder lebih mudah digunakan. Tentunya adik-adik di SMA harus menguasai banyak cara, bukan hanya satu atau dua cara saja. Dengan mengetahui banyak cara, adik-adik dapat memilih metode mana yang lebih mudah diterapkan pada masing-masing situasi.

Tagging: ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *