MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS DENGAN BERKAS GARIS

Oktober 26th, 2016

Di post saya yang lalu, telah diuraikan bahwa setiap garis pada bidang Kartesius dapat dinyatakan dalam bentuk umum Ax + By + C = 0. Misalkan garis g memiliki persamaan A₁x + B₁y + C₁ = 0 dan garis h memiliki persamaan A₂x + B₂y + C₂ = 0. Secara singkat, dapat ditulis:

g ≡ A₁x + B₁y + C₁ = 0 atau g = 0

h ≡ A₂x + B₂y + C₂ = 0 atau h = 0

Misalkan pula λ ∊ ℝ sembarang. Bagaimana persamaan g + λh = 0? Dengan cara mensubstitusikan, diperoleh bahwa g + λh = (A₁ + λA₂)x + (B₁ + λB₂)y + (C₁ + λC₂) = 0, yang ternyata juga merupakan suatu persamaan garis. Jika P(x₀,y₀) merupakan titik potong antara g dan h, tentu berlaku secara bersamaan kedua hal berikut.

A₁x₀ + B₁y₀ + C₁ = 0

A₂x₀ + B₂y₀ + C₂ = 0

Akibatnya, untuk setiap λ ∊ ℝ berlaku (A₁ + λA₂)x₀ + (B₁ + λB₂)y₀ + (C₁ + λC₂) = 0. Ini berarti bahwa garis dengan persamaan g + λh = 0 atau (A₁ + λA₂)x + (B₁ + λB₂)y + (C₁ + λC₂) = 0 juga melalui (x₀,y₀), yaitu koordinat titik potong antara g dan h. Dengan kata lain, setiap persamaan dalam bentuk g + λh = 0 dapat dipastikan melalui titik potong antara g dan h. Jadi, kita telah membuktikan dalil berikut.

berkas_garis

Dalil 1

Misalkan garis-garis g dan h memiliki persamaan sebagai berikut.

g ≡ A₁x + B₁y + C₁ = 0

h ≡ A₂x + B₂y + C₂ = 0

Misalkan P merupakan titik potong antara g dan h.

Jika λ ∊ ℝ maka garis dengan persamaan g + λh = 0 melalui P. Dengan kata lain, setiap persamaan dalam bentuk g + λh = 0 melalui P; λ ∊ ℝ.

Sekarang akan dibuktikan bahwa setiap garis yang melalui titik potong antara g dan h dapat dinyatakan dalam bentuk g + λh = 0 untuk suatu λ ∊ ℝ. Misalkan garis k ≡ A₃x + B₃y + C₃ = 0 melalui titik potong antara g dan h. (Garis k ini sembarang.) Akan ditunjukkan bahwa terdapat suatu λ ∊ ℝ sedemikian hingga g + λh = k atau g + λh = A₃x + B₃y + C₃ = 0. Dalam hal ini pilih $\lambda = \frac{A_3 B_1 - A_1 B_3}{A_2 B_3 - A_3 B_2}$ . Akibatnya:

g + λh = (A₁ + λA₂)x + (B₁ + λB₂)y + (C₁ + λC₂) = 0 …………………………………………… (*)

Substitusikan nilai $\lambda = \frac{A_3 B_1 - A_1 B_3}{A_2 B_3 - A_3 B_2}$ ke dalam (*), diperoleh:

$(A_1 + \frac{A_3 B_1 - A_1 B_3}{A_2 B_3 - A_3 B_2} A_2) x + (B_1 + \frac{A_3 B_1 - A_1 B_3}{A_2 B_3 - A_3 B_2} B_2) y + (C_1 + \frac{A_3 B_1 - A_1 B_3}{A_2 B_3 - A_3 B_2} C_2) = 0$

Kalikan kedua ruas persamaan di atas dengan (A₂B₃ – A₃B₂), maka persamaan tersebut dapat dinyatakan sebagai:

A₃(A₂B₁ – A₁B₂)x + B₃(A₂B₁ – A₁B₂)y – A₃(B₂C₁ – B₁C₂) – B₃(A₁C₂ – A₂C₁) = 0 ………….. (**)

Perhatikan bahwa titik potong antara g dan h adalah (x₀,y₀) dengan:

$x_0 = \frac{B_1 C_2 - B_2 C_1}{A_1 B_2 - A_2 B_1}$ ……….. (+)

$y_0 = \frac{A_2 C_1 - A_1 C_2}{A_1 B_2 - A_2 B_1}$ ………. (++)

Karena k ≡ A₃x + B₃y + C₃ = 0 melalui (x₀,y₀), haruslah berlaku:

A₃x₀ + B₃y₀ + C₃ = 0 ……………………………………………………………………………………………… (+++)

Substitusikan (+) dan (++) ke (+++), akan diperoleh persamaan:

-A₃(B₂C₁ – B₁C₂) – B₃(A₁C₂ – A₂C₁) = C₃(A₂B₁ – A₁B₂) ………………………………………………… (x)

Dari (**) dan (x), diperoleh:

A₃(A₂B₁ – A₁B₂)x + B₃(A₂B₁ – A₁B₂)y + C₃(A₂B₁ – A₁B₂) = 0

A₃x + B₃y + C₃= 0

Kita telah membuktikan bahwa untuk setiap garis dengan persamaan A₃x + B₃y + C₃ = 0 yang melalui titik potong antara g dan h terdapat λ ∊ ℝ sedemikian hingga g + λh = A₃x + B₃y + C₃ = 0. Jadi, kita memiliki dalil berikut ini.

Dalil 2

Misalkan garis-garis g dan h memiliki persamaan sebagai berikut.

g ≡ A₁x + B₁y + C₁ = 0

h ≡ A₂x + B₂y + C₂ = 0

Misalkan P merupakan titik potong antara g dan h.

Setiap garis yang melalui P dapat dinyatakan dalam bentuk g + λh = 0 untuk suatu λ ∊ ℝ.

Contoh 1

Tentukan persamaan garis bergradien 1 yang melalui titik potong antara garis g dan h apabila

g ≡ 7x + 5y + 13 = 0

h ≡ 11x – 3y + 37 = 0

Jawab:

Dengan berdasar pada Dalil 2, kita dapat memisalkan bahwa garis yang diminta dapat dinyatakan sebagai:

(7 + 11λ)x + (5 – 3λ)y + (13 + 37λ) = 0 …………………………………………… (o)

$y = \frac{7 + 11 \lambda}{3 \lambda - 5} x + \frac{13 + 37 \lambda}{3 \lambda - 5}$

Gradien garis ini harus sama dengan 1, sehingga:

$\frac{7 + 11 \lambda}{3 \lambda - 5} = 1$

Dari sini akan diperoleh λ = -1,5. Substitusikan nilai ini ke dalam (o), diperoleh persamaan garis yang diminta, yaitu dengan persamaan 19x – 19y + 85 = 0.

Contoh 2

Garis k melalui titik berkoordinat (1,-3) dan titik potong antara garis g dan h. Diketahui persamaan garis g dan h sebagai berikut.

g ≡ 71x + 15y + 10 = 0

h ≡ 23x – 17y – 17 = 0

Tentukan persamaan garis k.

Jawab:

Berdasar pada Dalil 2, kita misalkan persamaan garis k adalah:

(71 + 23λ)x + (15 – 17λ)y + (10 – 17λ) = 0 …………………………………………… (oo)

Karena k melalui (1,-3), substitusikan x = 1 dan y = -3 ke dalam (oo), diperoleh persamaan linier dalam λ, dan diperoleh $\lambda = - \frac{12}{19}$ . Substitusikan nilai ini ke dalam (oo), diperoleh persamaan garis k ≡ 1073x + 489y + 394 = 0.

Most visitors also read :

Satu tanggapan untuk “MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS DENGAN BERKAS GARIS”

Rio Kurniawan berkata:

Oktober 27, 2017 pukul 18:49

Garis P Bergradien -4.Tentukan gradien garis lain,jika garis tersebut
a.sejjar dg garis P
b.tegak lurus dg garis P

Balas

edscyclopedia.com

Untuk anak bangsa yang lebih cerdas