MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS DENGAN BERKAS GARIS

Oktober 26th, 2016

Di post saya yang lalu, telah diuraikan bahwa setiap garis pada bidang Kartesius dapat dinyatakan dalam bentuk umum Ax + By + C = 0. Misalkan garis g memiliki persamaan A1x + B1y + C1 = 0 dan garis h memiliki persamaan A2x + B2y + C2 = 0. Secara singkat, dapat ditulis:

g ≡ A1x + B1y + C1 = 0 atau g = 0

h ≡ A2x + B2y + C2 = 0 atau h = 0

Misalkan pula λ ∊ ℝ sembarang. Bagaimana persamaan g + λh = 0? Dengan cara mensubstitusikan, diperoleh bahwa g + λh = (A1 + λA2)x + (B1 + λB2)y + (C1 + λC2) = 0, yang ternyata juga merupakan suatu persamaan garis. Jika P(x0,y0) merupakan titik potong antara g dan h, tentu berlaku secara bersamaan kedua hal berikut.

A1x0 + B1y0 + C1 = 0

A2x0 + B2y0 + C2 = 0

Akibatnya, untuk setiap λ ∊ ℝ berlaku (A1 + λA2)x0 + (B1 + λB2)y0 + (C1 + λC2) = 0. Ini berarti bahwa garis dengan persamaan g + λh = 0 atau (A1 + λA2)x + (B1 + λB2)y + (C1 + λC2) = 0 juga melalui (x­0,y0), yaitu koordinat titik potong antara g dan h. Dengan kata lain, setiap persamaan dalam bentuk g + λh = 0 dapat dipastikan melalui titik potong antara g dan h. Jadi, kita telah membuktikan dalil berikut.

berkas_garis

 

Dalil 1

Misalkan garis-garis g dan h memiliki persamaan sebagai berikut.

g ≡ A1x + B1y + C1 = 0

h ≡ A2x + B2y + C2 = 0

Misalkan P merupakan titik potong antara g dan h.

Jika λ ∊ ℝ maka garis dengan persamaan g + λh = 0 melalui P. Dengan kata lain, setiap persamaan dalam bentuk g + λh = 0 melalui P; λ ∊ ℝ.

 

Sekarang akan dibuktikan bahwa setiap garis yang melalui titik potong antara g dan h dapat dinyatakan dalam bentuk g + λh = 0 untuk suatu λ ∊ ℝ. Misalkan garis k ≡ A3x + B3y + C3 = 0 melalui titik potong antara g dan h. (Garis k ini sembarang.) Akan ditunjukkan bahwa terdapat suatu λ ∊ ℝ sedemikian hingga g + λh = k atau g + λh = A3x + B3y + C3 = 0. Dalam hal ini pilih lambda ~=~ {A_{3} B_{1}~-~ A_{1} B_{3} }/{A_{2} B_{3} ~-~ A_{3} B_{2}}. Akibatnya:

g + λh = (A1 + λA2)x + (B1 + λB2)y + (C1 + λC2) = 0 …………………………………………… (*)

Substitusikan nilai lambda ~=~ {A_{3} B_{1}~-~ A_{1} B_{3} }/{A_{2} B_{3} ~-~ A_{3} B_{2}} ke dalam (*), diperoleh:

(A_{1} ~+~ {A_{3} B_{1}~-~ A_{1} B_{3} }/{A_{2} B_{3} ~-~ A_{3} B_{2}} A_{2}) x ~+~ (B_{1} ~+~ {A_{3} B_{1}~-~ A_{1} B_{3} }/{A_{2} B_{3} ~-~ A_{3} B_{2}} B_{2}) y ~+~ (C_{1} ~+~ {A_{3} B_{1}~-~ A_{1} B_{3} }/{A_{2} B_{3} ~-~ A_{3} B_{2}} C_{2}) ~=~ 0

Kalikan kedua ruas persamaan di atas dengan (A2B3 – A3B2), maka persamaan tersebut dapat dinyatakan sebagai:

A3(A2B1 – A1B2)x + B3(A2B1 – A1B2)y – A3(B2C1 – B1C2) – B3(A1C2 – A2C1) = 0 …………………………………. (**)

Perhatikan bahwa titik potong antara g dan h adalah (x0,y0) dengan:

x_{0} ~=~ {B_{1} C_{2} ~-~ B_{2} C_{1}}/{A_{1} B_{2} ~-~ A_{2} B_{1}} ……….. (+)

y_{0} ~=~ {A_{2} C_{1} ~-~ A_{1} C_{2}}/{A_{1} B_{2} ~-~ A_{2} B_{1}} ………. (++)

Karena k ≡ A3x + B3y + C3 = 0 melalui (x0,y0), haruslah berlaku:

A3x0 + B3y0 + C3 = 0 ……………………………………………… (+++)

Substitusikan (+) dan (++) ke (+++), akan diperoleh persamaan:

-A3(B2C1 – B1C2) – B3(A1C2 – A2C1) = C3(A2B1 – A1B2) ………………………………………………… (x)

Dari (**) dan (x), diperoleh:

A3(A2B1 – A1B2)x + B3(A2B1 – A1B2)y + C3(A2B1 – A1B2) = 0

A3x + B3y + C3 = 0

Kita telah membuktikan bahwa untuk setiap garis dengan persamaan A3x + B3y + C3 = 0 yang melalui titik potong antara g dan h terdapat λ ∊ ℝ sedemikian hingga g + λh = A3x + B3y + C3 = 0. Jadi, kita memiliki dalil berikut ini.

 

Dalil 2

Misalkan garis-garis g dan h memiliki persamaan sebagai berikut.

g ≡ A1x + B1y + C1 = 0

h ≡ A2x + B2y + C2 = 0

Misalkan P merupakan titik potong antara g dan h.

Setiap garis yang melalui P dapat dinyatakan dalam bentuk g + λh = 0 untuk suatu λ ∊ ℝ.

 

 

Contoh 1

Tentukan persamaan garis bergradien 1 yang melalui titik potong antara garis g dan h apabila

g ≡ 7x + 5y + 13 = 0

h ≡ 11x – 3y + 37 = 0

 

Jawab:

Dengan berdasar pada Dalil 2, kita dapat memisalkan bahwa garis yang diminta dapat dinyatakan sebagai:

(7 + 11λ)x + (5 – 3λ)y + (13 + 37λ) = 0     …………………………………………… (o)

y ~=~ {7 ~+~ 11 lambda}/{3 lambda ~-~ 5} x ~+~ {13 ~+~ 37 lambda}/{3 lambda ~-~ 5}

Gradien garis ini harus sama dengan 1, sehingga:

{7 ~+~ 11 lambda}/{3 lambda ~-~ 5} ~=~ 1

Dari sini akan diperoleh λ = -1,5. Substitusikan nilai ini ke dalam (o), diperoleh persamaan garis yang diminta, yaitu dengan persamaan 19x – 19y + 85 = 0.

 

Contoh 2

Garis k melalui titik berkoordinat (1,-3) dan titik potong antara garis g dan h. Diketahui persamaan garis g dan h sebagai berikut.

g ≡ 71x + 15y + 10 = 0

h ≡ 23x – 17y – 17 = 0

Tentukan persamaan garis k.

 

Jawab:

Berdasar pada Dalil 2, kita misalkan persamaan garis k adalah:

(71 + 23λ)x + (15 – 17λ)y + (10 – 17λ) = 0 …………………………………………… (oo)

Karena k melalui (1,-3), substitusikan x = 1 dan y = -3 ke dalam (oo), diperoleh persamaan linier dalam λ, dan diperoleh lambda ~=~ - ~ {12}/{19}. Substitusikan nilai ini ke dalam (oo), diperoleh persamaan garis k ≡ 1073x + 489y + 394 = 0.

 

Tagging: ,

Most visitors also read :



Satu tanggapan untuk “MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS DENGAN BERKAS GARIS”

  1. Rio Kurniawan berkata:

    Garis P Bergradien -4.Tentukan gradien garis lain,jika garis tersebut
    a.sejjar dg garis P
    b.tegak lurus dg garis P

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *