MENENTUKAN NILAI PENDEKATAN DENGAN SUKU BANYAK TAYLOR

Oktober 21st, 2016

Sebagian adik-adik di SMA jurusan IPA mungkin bertanya, “bagaimana sih menghitung cos 660 tanpa kalkulator?”. Dengan kita mengetahui cos 600 = 0,5, kita dapat mencari nilai pendekatan bagi cos 660 menggunakan suku banyak Taylor. Kita perhatikan dulu dalil berikut.

 

Teorema

Misalkan fungsi f memiliki turunan hingga turunan ke-(n+1) pada suatu selang terbuka I yang memuat c. Maka terdapat suatu ξ di antara x dan c sedemikian hingga f(x) = Pn(x) + Rn(x), dengan:

P_{n} (x) ~=~ f(c) ~+~ f prime (c) (x-c) ~+~ {f ^{,,} (c)}/{2!} (x-c)^2 ~+~ cdots ~+~ {f^(n) (c)}/{n!} (x-c)^n ………… (1)

dan

R_{n} (x) ~=~ {f^(n+1) (xi)}/{(n+1)!} (x-c)^{n+1} ……………………………………. (2)

Pn(x) di atas dinamakan suku banyak Taylor berderajat n dari fungsi f di c.

 

Catatan:

Jika f (n+1) terbatas pada I maka dengan Rn(x) kita dapat menentukan tingkat ketelitian dari pendekatan yang kita lakukan. Perhatikan contoh penggunaan suku banyak Taylor untuk mencari nilai pendekatan berikut ini.

 

Contoh

Tentukan nilai pendekatan bagi cos 660 dengan menggunakan suku banyak Taylor derajat tiga. Sampai berapa desimal tingkat ketelitian pendekatan tersebut?

 

Jawab:

Karena 660 berada di sekitar 600, kita akan mencari pendekatan nilai cos 660 dengan suku banyak Taylor dari cos x di 600. Pada contoh ini kita diminta menggunakan suku banyak Taylor derajat tiga, sehingga kita perlu menentukan terlebih dahulu f ′(x), f ″(x), dan f ‴(x) dengan f(x) = cos x.

Perhatikan bahwa f ′(x) = – sin x, f ″(x) = – cos x, dan f ‴(x) = sin x sehingga f ‘(600) = f ‘(π/3) = -½√3, f ″(600) = f ″(π/3) = -½, dan f ‴(600) = f ‴(π/3) = ½√3. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam (1), diperoleh suku banyak Taylor derajat tiga:

P_{3} (x) ~=~ cos {{pi}/3} ~-~ {1/2} sqrt{3} (x - {pi}/3) ~-~ {1/2}/{2!} (x - {pi}/3)^2 ~+~ {{1/2} sqrt{3}}/{3!} (x - {pi}/3)^3

P_{3} (x) ~=~ 1/2 ~-~ {sqrt{3}}/2 (x - {pi}/3) ~-~ {1/4} (x - {pi}/3)^2 ~+~ {sqrt{3}}/{12} (x - {pi}/3)^3

Untuk menghitung nilai pendekatan bagi cos 660, substitusikan x = 660 = 11π/30 ke dalam P3(x), diperoleh:

cos {66^0} approx P_{3} ({11 pi}/{30}) ~=~ 1/2 ~-~ {sqrt{3}}/2 ({11 pi}/{30} - {pi}/3) ~-~ {1/4} ({11 pi}/{30} - {pi}/3)^2 ~+~ {sqrt{3}}/{12} ({11 pi}/{30} - {pi}/3)^3

cos {66^0} approx 1/2 ~-~ {sqrt{3}}/2 ({11 pi}/{30} - {pi}/3) ~-~ {1/4} ({11 pi}/{30} - {pi}/3)^2 ~+~ {sqrt{3}}/{12} ({11 pi}/{30} - {pi}/3)^3

cos {66^0} approx 1/2 ~-~ {sqrt{3}}/2 ({pi}/{30}) ~-~ {1/4} ({pi}/{30} )^2 ~+~ {sqrt{3}}/{12} ({pi}/{30})^3

Hasil terakhir di atas merupakan nilai pendekatan bagi cos 660 menggunakan suku banyak Taylor derajat tiga. Sekarang, perhitungan pendekatan tadi teliti sampai berapa desimal? Untuk menjawab ini, kita perhatikan R3(x). Dari teorema di atas, dapat kita simpulkan bahwa terdapat suatu ξ di antara π/3 dengan x sedemikian hingga R_{3} (x) ~=~ {f^(4) (xi)}/{(3+1)!} (x - {pi}/3)^{3+1}.

Perhatikan bahwa f (iv)(x) = cos x, sehingga:

R_{3} (x) ~=~ {cos {xi}}/{24} (x - {pi}/3)^4

Karena |cos ξ| ≤ 1, maka untuk setiap x di sekitar π/3 berlaku:

delim{|}{R_{3} (x)}{|} ~ <= ~ 1/{24} (x - {pi}/3)^4

Substitusikan x = 11π/30 ke dalam |R3(x)| di atas, diperoleh:

delim{|}{R_{3} ({11 pi}/{30})}{|} ~ <= ~ 1/{24} ({pi}/{30})^4 approx 0,00000501 ~ <= ~ 0,00005

Jadi, nilai pendekatan bagi cos 660 dengan menggunakan suku banyak Taylor derajat tiga teliti hingga 4 desimal.

 

Terima kasih atas kunjungan Anda ke website ini. Untuk kepuasan Anda, Anda dapat mengajukan permintaan materi untuk dimuat di edscyclopedia.com. Kirim permintaan tersebut melalui e-mail ke sondakh.edu@google.com.

 

 

Tagging: ,

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *