MENENTUKAN KOORDINAT SUATU TITIK PADA RUAS GARIS

September 19th, 2016

Barangkali adik-adik di SMA atau SMP pernah mendapatkan soal matematika seperti ini. Diketahui dua buah titik A(-1,4) dan B(6,1). Titik P terletak pada ruas garis overline{AB} sedemikian hingga delim{|}{overline{AP}}{|}~:~delim{|}{overline{PB}}{|}~=~2~:~3. Tentukanlah koordinat P. Inilah yang akan dibahas pada post kali ini.

 

Mari kita turunkan dulu rumusnya …

 

Misalkan A dan B adalah dua titik yang koordinatnya diketahui dan P adalah suatu titik pada ruas garis overline{AB} sedemikian hingga delim{|}{overline{AP}}{|}~:~delim{|}{overline{PB}}{|}~=~m~:~n. (Lihat Gambar 1.)

titik_bagi_segmen_garis_1

Gambar 1

 

Pada Gambar 1, A dan B adalah titik-titik yang koordinatnya diketahui. vec{A},~ vec{B},~ vec{P} masing-masing adalah, secara berturutan, vektor posisi A, B, dan P, dengan titik pangkal koordinat O. Karena koordinat A dan B diketahui, vektor posisi A dan B dapat ditentukan. Sekarang kita akan mencari vektor posisi P sehingga koordinat P dapat ditentukan.

 

Perhatikan bahwa vec{AP}={m}/{m+n} vec{AB}. Apabila dinyatakan dalam vektor posisi, kesamaan ini dapat dinyatakan sebagai:

vec{P}~-~vec{A}~=~{m}/{m+n} delim{[}{vec{B}~-~vec{A}}{]}

vec{P}~=~{m}/{m+n} vec{B}~-~ {m}/{m+n} vec{A}~ + ~ vec{A}

vec{P}~=~ {m}/{m+n} vec{B} ~+~ {n}/{m+n} vec{A}

vec{P}~=~ {m vec{B} ~+~ n vec{A}}/{m+n} …………………………………………. (*)

Dari (*), koordinat P dengan mudah diperoleh.

 

Coba kita terapkan (*) pada contoh soal di awal post ini. Situasi pada contoh tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

titik_bagi_segmen_garis_2

Gambar 2

 

Vektor posisi dari A adalah vec{A}~=~ delim{[}{matrix{2}{1}{{-1} 4}}{]} dan vektor posisi B adalah vec{B}~=~ delim{[}{matrix{2}{1}{6 1}}{]}. Pada contoh ini, m = 2 dan n = 3. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam (*), diperoleh:

vec{P}~=~ {2 delim{[}{matrix{2}{1}{6 1}}{]}~+~ 3 delim{[}{matrix{2}{1}{{-1} 4}}{]}}/{2+3}

vec{P}~=~{1}/{5} delim{[}{matrix{2}{1}{9 14}}{]}

vec{P}~=~ delim{[}{matrix{2}{1}{{1{4/5}} {2{4/5}}}}{]}

Dengan demikian diperoleh koordinat P(1{4/5},2{4/5}).

 

PERLUASAN

Sekarang bagaimana apabila titik P yang dimaksud di atas bukan terletak pada ruas garis penghubung A dan B, melainkan P ini terletak pada perpanjangan ruas garis tersebut searah vec{BA}? Perhatikan contoh berikut.

 

Diketahui dua buah titik A(-1,4) dan B(6,1). Titik P terletak pada perpanjangan ruas garis overline{BA} searah vec{BA} sedemikian hingga delim{|}{overline{AP}}{|}~:~delim{|}{overline{BP}}{|}~=~1~:~5. Tentukanlah koordinat P.

 

Situasi pada contoh kedua ini digambarkan sebagai berikut.

titik_bagi_segmen_garis_3

Gambar 3

 

Pada contoh kedua ini, seolah-olah A dan P berganti peran. Dalam penurunan rumus (*), P berperan sebagai suatu titik pada ruas garis yang menghubungkan A dan B yang diketahui masing-masing koordinatnya. Pada contoh kali ini, A (yang koordinatnya diketahui) berperan sebagai salah satu titik pada ruas garis yang menghubungkan P (yang tidak diketahui koordinatnya) dan B (yang diketahui koordinatnya). Jadi, rumus (*) “dimodifikasi” menjadi:

vec{A}~=~ {m vec{B} ~+~ n vec{P}}/{m+n} …………………………………………………… (**)

Pada Gambar 3 dituliskan delim{|}{overline{BA}}{|} ~:~ delim{|}{overline{AP}}{|} ~=~ 4~:~1. Ini adalah karena delim{|}{overline{BP}}{|} ~:~ delim{|}{overline{AP}}{|} ~=~ 5~:~1, sedangkan delim{|}{overline{BA}}{|} ~=~ delim{|}{overline{BP}}{|} ~-~ delim{|}{overline{AP}}{|} ~=~ 5 ~-~ 1 ~=~4. Jadi, pada contoh ini, m = 1 dan n = 4. Substitusikan semua nilai yang diketahui ke dalam (**), diperoleh:

vec{A}~=~ {vec{B} ~+~ 4 vec{P}}/5

vec{P}~=~ {5 vec{A} ~-~ vec{B}}/4

vec{P} ~=~ {5 delim{[}{matrix{2}{1}{{-1} 4}}{]} ~-~ delim{[}{matrix{2}{1}{6 1}}{]}}/4 ~=~ delim{[}{matrix{2}{1}{{-2{3/4}} {4{3/4}}}}{]}

Jadi, diperolehlah jawaban yang diminta, yaitu P(-2{3/4},4{3/4}).

 



Most visitors also read :



Satu tanggapan untuk “MENENTUKAN KOORDINAT SUATU TITIK PADA RUAS GARIS”

  1. Robertus Agung berkata:

    Sangat Membantu
    Terimakasih

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *