MENENTUKAN KOORDINAT SUATU TITIK PADA RUAS GARIS

September 19th, 2016

Barangkali adik-adik di SMA atau SMP pernah mendapatkan soal matematika seperti ini. Diketahui dua buah titik A(-1,4) dan B(6,1). Titik P terletak pada ruas garis [pmath]overline{AB}[/pmath] sedemikian hingga [pmath]delim{|}{overline{AP}}{|}~:~delim{|}{overline{PB}}{|}~=~2~:~3[/pmath]. Tentukanlah koordinat P. Inilah yang akan dibahas pada post kali ini.

 

Mari kita turunkan dulu rumusnya …

 

Misalkan A dan B adalah dua titik yang koordinatnya diketahui dan P adalah suatu titik pada ruas garis [pmath]overline{AB}[/pmath] sedemikian hingga [pmath]delim{|}{overline{AP}}{|}~:~delim{|}{overline{PB}}{|}~=~m~:~n[/pmath]. (Lihat Gambar 1.)

titik_bagi_segmen_garis_1

Gambar 1

 

Pada Gambar 1, A dan B adalah titik-titik yang koordinatnya diketahui. [pmath]vec{A},~ vec{B},~ vec{P}[/pmath] masing-masing adalah, secara berturutan, vektor posisi A, B, dan P, dengan titik pangkal koordinat O. Karena koordinat A dan B diketahui, vektor posisi A dan B dapat ditentukan. Sekarang kita akan mencari vektor posisi P sehingga koordinat P dapat ditentukan.

 

Perhatikan bahwa [pmath]vec{AP}={m}/{m+n} vec{AB}[/pmath]. Apabila dinyatakan dalam vektor posisi, kesamaan ini dapat dinyatakan sebagai:

[pmath]vec{P}~-~vec{A}~=~{m}/{m+n} delim{[}{vec{B}~-~vec{A}}{]}[/pmath]

[pmath]vec{P}~=~{m}/{m+n} vec{B}~-~ {m}/{m+n} vec{A}~ + ~ vec{A}[/pmath]

[pmath]vec{P}~=~ {m}/{m+n} vec{B} ~+~ {n}/{m+n} vec{A}[/pmath]

[pmath]vec{P}~=~ {m vec{B} ~+~ n vec{A}}/{m+n}[/pmath] …………………………………………. (*)

Dari (*), koordinat P dengan mudah diperoleh.

 

Coba kita terapkan (*) pada contoh soal di awal post ini. Situasi pada contoh tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

titik_bagi_segmen_garis_2

Gambar 2

 

Vektor posisi dari A adalah [pmath]vec{A}~=~ delim{[}{matrix{2}{1}{{-1} 4}}{]}[/pmath] dan vektor posisi B adalah [pmath]vec{B}~=~ delim{[}{matrix{2}{1}{6 1}}{]}[/pmath]. Pada contoh ini, m = 2 dan n = 3. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam (*), diperoleh:

[pmath]vec{P}~=~ {2 delim{[}{matrix{2}{1}{6 1}}{]}~+~ 3 delim{[}{matrix{2}{1}{{-1} 4}}{]}}/{2+3}[/pmath]

[pmath]vec{P}~=~{1}/{5} delim{[}{matrix{2}{1}{9 14}}{]}[/pmath]

[pmath]vec{P}~=~ delim{[}{matrix{2}{1}{{1{4/5}} {2{4/5}}}}{]}[/pmath]

Dengan demikian diperoleh koordinat [pmath]P(1{4/5},2{4/5})[/pmath].

 

PERLUASAN

Sekarang bagaimana apabila titik P yang dimaksud di atas bukan terletak pada ruas garis penghubung A dan B, melainkan P ini terletak pada perpanjangan ruas garis tersebut searah [pmath]vec{BA}[/pmath]? Perhatikan contoh berikut.

 

Diketahui dua buah titik A(-1,4) dan B(6,1). Titik P terletak pada perpanjangan ruas garis [pmath]overline{BA}[/pmath] searah [pmath]vec{BA}[/pmath] sedemikian hingga [pmath]delim{|}{overline{AP}}{|}~:~delim{|}{overline{BP}}{|}~=~1~:~5[/pmath]. Tentukanlah koordinat P.

 

Situasi pada contoh kedua ini digambarkan sebagai berikut.

titik_bagi_segmen_garis_3

Gambar 3

 

Pada contoh kedua ini, seolah-olah A dan P berganti peran. Dalam penurunan rumus (*), P berperan sebagai suatu titik pada ruas garis yang menghubungkan A dan B yang diketahui masing-masing koordinatnya. Pada contoh kali ini, A (yang koordinatnya diketahui) berperan sebagai salah satu titik pada ruas garis yang menghubungkan P (yang tidak diketahui koordinatnya) dan B (yang diketahui koordinatnya). Jadi, rumus (*) “dimodifikasi” menjadi:

[pmath]vec{A}~=~ {m vec{B} ~+~ n vec{P}}/{m+n}[/pmath] …………………………………………………… (**)

Pada Gambar 3 dituliskan [pmath]delim{|}{overline{BA}}{|} ~:~ delim{|}{overline{AP}}{|} ~=~ 4~:~1[/pmath]. Ini adalah karena [pmath]delim{|}{overline{BP}}{|} ~:~ delim{|}{overline{AP}}{|} ~=~ 5~:~1[/pmath], sedangkan [pmath]delim{|}{overline{BA}}{|} ~=~ delim{|}{overline{BP}}{|} ~-~ delim{|}{overline{AP}}{|} ~=~ 5 ~-~ 1 ~=~4[/pmath]. Jadi, pada contoh ini, m = 1 dan n = 4. Substitusikan semua nilai yang diketahui ke dalam (**), diperoleh:

[pmath]vec{A}~=~ {vec{B} ~+~ 4 vec{P}}/5[/pmath]

[pmath]vec{P}~=~ {5 vec{A} ~-~ vec{B}}/4[/pmath]

[pmath]vec{P} ~=~ {5 delim{[}{matrix{2}{1}{{-1} 4}}{]} ~-~ delim{[}{matrix{2}{1}{6 1}}{]}}/4 ~=~ delim{[}{matrix{2}{1}{{-2{3/4}} {4{3/4}}}}{]}[/pmath]

Jadi, diperolehlah jawaban yang diminta, yaitu [pmath]P(-2{3/4},4{3/4})[/pmath].

 



Most visitors also read :



Satu tanggapan untuk “MENENTUKAN KOORDINAT SUATU TITIK PADA RUAS GARIS”

  1. Robertus Agung berkata:

    Sangat Membantu
    Terimakasih

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *