JARI-JARI LINGKARAN SEGIEMPAT TALI BUSUR

Oktober 10th, 2016

Misalkan diketahui suatu segiempat tali busur ABCD dengan AB = 3 cm, BC = 8 cm, CD = 6 cm dan AD = 5 cm. (Lihat Gambar 1.) Berapakah jari-jari lingkaran (r)? Inilah yang menjadi topik bahasan post hari ini.

segi4_cth

Gambar 1

 

Kita turunkan dulu rumusnya ya …

Misalkan ABCD suatu segiempat talibusur yang panjang masing-masing sisinya diketahui, yaitu: AB = a, BC = b, CD = c, AD = d. (Lihat Gambar 2.)

segi4_tb

Gambar 2

 

Tarik ruas garis BD, misalkan panjang ruas garis tersebut adalah BD = p.

Pandang ΔBCD. Misalkan ∠BCD = C. Dengan aturan cosinus, diperoleh:

P2 = b2 + c2 – 2bc cos C   …………………………………………………………………………………………… (1)

Pandang ΔBAD. Misalkan ∠BAD = A. Dengan aturan cosinus, diperoleh:

p2 = a2 + d2 – 2ad cos A …………………………………………………………………………………………….. (2)

Karena sudut-sudut yang berhadapan pada suatu segiempat tali busur berjumlah 1800, maka A + C = 1800 sehingga cos A = cos (1800 – C) = – cos C dan persamaan (2) menjadi:

p2 = a2 + d2 + 2ad cos C …………………………………………………………………………………………. (2a)

Dari (1) dan (2a), diperoleh:

a2 + d2 + 2ad cos C = b2 + c2 – 2bc cos C

\cos C = \frac{b^2 + c^2 - a^2 - d^2}{2(ad+bc)} …………………………………………………………………………………………. (*)

1 + \cos C = \frac{(b+c)^2 - (a-d)^2}{2(ad+bc)} = \frac{(b+c+a-d)(b+c-a+d)}{2(ad+bc)}

Dengan memisalkan 2s = a + b + c + d, diperoleh bahwa b + c + a – d = 2(s – d) dan b + c – a + d = 2(s – a), dan diperolehlah:

1 + \cos C = \frac{2(s-d) \cdot 2(s-a)}{2(ad+bc)} = \frac{2(s-a)(s-d)}{ad+bc}

Dari identitas trigonometri cos C = 2 cos2 ½C – 1, diperoleh:

\cos {\frac{1}{2} C} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-d)}{ad+bc}} ……………………………………………………………………………………… (3)

1 - \cos C = 1 - \frac{b^2 + c^2 - a^2 - d^2}{2(ad+bc)}

1 - \cos C = \frac{(a+d)^2 - (b-c)^2}{2(ad+bc)}

1 - \cos C = \frac{(a+d+b-c)(a+d-b+c)}{2(ad+bc)}

Karena 2s = a + b + c + d, maka a+d+b-c = 2(s-c) dan a+d-b+c = 2(s-b) sehingga:

1 - \cos C = \frac{2(s-c) \cdot 2(s-b)}{2(ad+bc)} = \frac{2(s-b)(s-c)}{ad+bc}

Dari identitas trigonometri cos C = 1 – 2 sin2 ½C, diperoleh:

\sin {\frac{1}{2} C} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{ad+bc}} ……………………………………………………………………………………….. (4)

Dengan menggunakan (3), (4), dan identitas trigonometri sin C = 2 sin ½C cos ½C, diperoleh:

\sin C = 2 \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}{(ad+bc)^2}}

Karena luas segiempat tali busur adalah L = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} maka

\sin C = \frac{2L}{ad+bc} ………………………………………………………………………………………………….. (**)

Sekarang perhatikan ΔBOD. Menggunakan aturan cosinus, diperoleh:

p2 = r2 + r2 – 2r2 cos ∠BOD ……………………………………………………………………………………….. (5)

Karena ∠BOD = 2C, (5) dapat dinyatakan sebagai:

p2 = 2r2 – 2r2 cos 2C

p2 = 2r2(1 – cos 2C)

p2 = 2r2(2 sin2 C) [menggunakan identitas cos 2C = 1 – 2 sin2 C]

p2 = 4r2 sin2 C ………………………………………………………………………………………………………. (6)

Dari (2a) dan (6) diperoleh:

4r2 sin2 C = a2 + d2 + 2ad cos C

r = \frac{\sqrt{a^2+d^2+2ad \cos C}}{2 \sin C} ………………………………………………………………………………………… (7)

Subsitusikan (*) dan (**) ke dalam (7), diperoleh:

r = \frac{\sqrt{(ad+bc)(ab+cd)(ac+bd)}}{4L} …………………………………………………………………………………. (8)

 

Kembali ke pertanyaan di awal post ini, berapakah jari-jari lingkaran yang melalui keempat titik sudut segi empat tali busur itu?

 

Pada kasus ini, a = 3 cm, b = 8 cm, c = 6 cm dan d = 5 cm.

Pertama, kita akan menghitung dulu luas segi empat tali busur tersebut.

s = \frac{3+8+6+5}{2} \: cm = 11 \: cm

L = \sqrt{(11-3)(11-8)(11-6)(11-5)} \: cm^2 = 10 \sqrt{6} \: cm^2

Sekarang, kita siap untuk menghitung jari-jari yang ditanyakan.

Substitusikan a = 3 cm, b = 8 cm, c = 6 cm, d = 5 cm, dan L = 10√6 cm2 ke dalam (8), diperoleh:

r = \frac{\sqrt{(3 \cdot 5 + 8 \cdot 6)(3 \cdot 8 + 6 \cdot 5)(3 \cdot 6 + 8 \cdot 5)}}{4 \cdot 10 \sqrt{6}} \: cm = \frac{9}{40} \sqrt{406} \: cm.

`

Tagging:

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan.