JARI-JARI LINGKARAN SEGIEMPAT TALI BUSUR

Misalkan diketahui suatu segiempat tali busur ABCD dengan AB = 3 cm, BC = 8 cm, CD = 6 cm dan AD = 5 cm. (Lihat Gambar 1.) Berapakah jari-jari lingkaran (r)? Inilah yang menjadi topik bahasan post hari ini.

Gambar 1

 

Kita turunkan dulu rumusnya ya …

Misalkan ABCD suatu segiempat talibusur yang panjang masing-masing sisinya diketahui, yaitu: AB = a, BC = b, CD = c, AD = d. (Lihat Gambar 2.)

Gambar 2

 

Tarik ruas garis BD, misalkan panjang ruas garis tersebut adalah BD = p.

Pandang ΔBCD. Misalkan ∠BCD = C. Dengan aturan cosinus, diperoleh:

P² = b² + c² – 2bc cos C   ……………………………………………. (1)

Pandang ΔBAD. Misalkan ∠BAD = A. Dengan aturan cosinus, diperoleh:

p² = a² + d² – 2ad cos A …………………………………………….. (2)

Karena sudut-sudut yang berhadapan pada suatu segiempat tali busur berjumlah 180⁰, maka A + C = 180⁰ sehingga cos A = cos (180⁰ – C) = – cos C dan persamaan (2) menjadi:

p² = a² + d² + 2ad cos C …………………………………………….. (2a)

Dari (1) dan (2a), diperoleh:

a² + d² + 2ad cos C = b² + c² – 2bc cos C

[pmath]cos {C} ~=~ {b^2 + c^2 – a^2 – d^2}/{2(ad+bc)}[/pmath] …………………….. (*)

[pmath]1+cos {C} ~=~ {(b+c)^2 ~-~ (a-d)^2}/{2(ad+bc)} ~=~ {(b+c+a-d)(b+c-a+d)}/{2(ad+bc)}[/pmath]

Dengan memisalkan 2s = a + b + c + d, diperoleh bahwa b + c + a – d = 2(s – d) dan b + c – a + d = 2(s – a), dan diperolehlah:

[pmath]1+cos {C} ~=~ {2(s-d).2(s-a)}/{2(ad+bc)} ~=~ {2(s-a)(s-d)}/{ad+bc}[/pmath]

Dari identitas trigonometri cos C = 2 cos² ½C – 1, diperoleh:

[pmath]cos {{1/2} C} ~=~ sqrt{{(s-a)(s-d)}/{ad+bc}}[/pmath] ……………………………….. (3)

[pmath]1 ~-~ cos {C} ~=~ 1 ~-~ {b^2 + c^2 – a^2 – d^2}/{2(ad+bc)}[/pmath]

[pmath]1 ~-~ cos {C} ~=~ {(a+d)^2 – (b-c)^2}/{2(ad+bc)}[/pmath]

[pmath]1 ~-~ cos {C} ~=~ {(a+d+b-c)(a+d-b+c)}/{2(ad+bc)}[/pmath]

Karena 2s = a + b + c + d, maka a+d+b-c = 2(s-c) dan a+d-b+c = 2(s-b) sehingga:

[pmath]1 ~-~ cos {C} ~=~ {2(s-c).2(s-b)}/{2(ad+bc)} ~=~ {2(s-b)(s-c)}/{ad+bc}[/pmath]

Dari identitas trigonometri cos C = 1 – 2 sin² ½C, diperoleh:

[pmath]sin {{1/2} C} ~=~ sqrt{{(s-b)(s-c)}/{ad+bc}}[/pmath] ………………………………… (4)

Dengan menggunakan (3), (4), dan identitas trigonometri sin C = 2 sin ½C cos ½C, diperoleh:

[pmath]sin {C} ~=~ 2 sqrt{{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}/{(ad+bc)^2}}[/pmath]

Karena luas segiempat tali busur adalah [pmath]L ~=~ sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}[/pmath] maka

[pmath]sin {C} ~=~ {2L}/{ad+bc}[/pmath] ……………………………………………….. (**)

Sekarang perhatikan ΔBOD. Menggunakan aturan cosinus, diperoleh:

p² = r² + r² – 2r² cos ∠BOD …………….. (5)

Karena ∠BOD = 2C, (5) dapat dinyatakan sebagai:

p² = 2r² – 2r² cos 2C

p² = 2r²(1 – cos 2C)

p² = 2r²(2 sin² C) [menggunakan identitas cos 2C = 1 – 2 sin² C]

p² = 4r² sin² C …………………………………………….. (6)

Dari (2a) dan (6) diperoleh:

4r² sin² C = a² + d² + 2ad cos C

[pmath]r ~=~ {sqrt{a^2+d^2+2ad cos {C}}}/{2 sin {C}}[/pmath] ………………………….. (7)

Subsitusikan (*) dan (**) ke dalam (7), diperoleh:

[pmath]r ~=~ {sqrt{(ad+bc)(ab+cd)(ac+bd)}}/{4L}[/pmath] ……………………….. (8)

 

Kembali ke pertanyaan di awal post ini, berapakah jari-jari lingkaran yang melalui keempat titik sudut segi empat tali busur itu?

 

Pada kasus ini, a = 3 cm, b = 8 cm, c = 6 cm dan d = 5 cm.

Pertama, kita akan menghitung dulu luas segi empat tali busur tersebut.

[pmath]s ~=~ {3+8+6+5}/2 ~ cm ~=~ 11 cm[/pmath]

[pmath]L ~=~ sqrt{(11-3)(11-8)(11-6)(11-5)} ~ {cm}^2 ~=~ 10 sqrt{6} {cm}^2[/pmath]

Sekarang, kita siap untuk menghitung jari-jari yang ditanyakan.

Substitusikan a = 3 cm, b = 8 cm, c = 6 cm, d = 5 cm, dan L = 10√6 cm² ke dalam (8), diperoleh:

[pmath]r ~=~ {sqrt{(3.5+8.6)(3.8+6.5)(3.6+8.5)}}/{4.10 sqrt{6}} ~cm~ = ~ {9/{40}} sqrt{406} ~ cm[/pmath]

`

Tagging: segi empat tali busur

Most visitors also read :

MATRIKS AKAR KUADRAT



SOAL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA



DEKOMPOSISI SPEKTRAL MATRIKS SIMETRIS



PENGENALAN INDUKSI MATEMATIKA