JARI-JARI LINGKARAN SEGIEMPAT TALI BUSUR

Oktober 10th, 2016

Misalkan diketahui suatu segiempat tali busur ABCD dengan AB = 3 cm, BC = 8 cm, CD = 6 cm dan AD = 5 cm. (Lihat Gambar 1.) Berapakah jari-jari lingkaran (r)? Inilah yang menjadi topik bahasan post hari ini.

segi4_cth

Gambar 1

 

Kita turunkan dulu rumusnya ya …

Misalkan ABCD suatu segiempat talibusur yang panjang masing-masing sisinya diketahui, yaitu: AB = a, BC = b, CD = c, AD = d. (Lihat Gambar 2.)

segi4_tb

Gambar 2

 

Tarik ruas garis BD, misalkan panjang ruas garis tersebut adalah BD = p.

Pandang ΔBCD. Misalkan ∠BCD = C. Dengan aturan cosinus, diperoleh:

P2 = b2 + c2 – 2bc cos C   ……………………………………………. (1)

Pandang ΔBAD. Misalkan ∠BAD = A. Dengan aturan cosinus, diperoleh:

p2 = a2 + d2 – 2ad cos A …………………………………………….. (2)

Karena sudut-sudut yang berhadapan pada suatu segiempat tali busur berjumlah 1800, maka A + C = 1800 sehingga cos A = cos (1800 – C) = – cos C dan persamaan (2) menjadi:

p2 = a2 + d2 + 2ad cos C …………………………………………….. (2a)

Dari (1) dan (2a), diperoleh:

a2 + d2 + 2ad cos C = b2 + c2 – 2bc cos C

cos {C} ~=~ {b^2 + c^2 - a^2 - d^2}/{2(ad+bc)} …………………….. (*)

1+cos {C} ~=~ {(b+c)^2 ~-~ (a-d)^2}/{2(ad+bc)} ~=~ {(b+c+a-d)(b+c-a+d)}/{2(ad+bc)}

Dengan memisalkan 2s = a + b + c + d, diperoleh bahwa b + c + a – d = 2(s – d) dan b + c – a + d = 2(s – a), dan diperolehlah:

1+cos {C} ~=~ {2(s-d).2(s-a)}/{2(ad+bc)} ~=~ {2(s-a)(s-d)}/{ad+bc}

Dari identitas trigonometri cos C = 2 cos2 ½C – 1, diperoleh:

cos {{1/2} C} ~=~ sqrt{{(s-a)(s-d)}/{ad+bc}} ……………………………….. (3)

1 ~-~ cos {C} ~=~ 1 ~-~ {b^2 + c^2 - a^2 - d^2}/{2(ad+bc)}

1 ~-~ cos {C} ~=~ {(a+d)^2 - (b-c)^2}/{2(ad+bc)}

1 ~-~ cos {C} ~=~ {(a+d+b-c)(a+d-b+c)}/{2(ad+bc)}

Karena 2s = a + b + c + d, maka a+d+b-c = 2(s-c) dan a+d-b+c = 2(s-b) sehingga:

1 ~-~ cos {C} ~=~ {2(s-c).2(s-b)}/{2(ad+bc)} ~=~ {2(s-b)(s-c)}/{ad+bc}

Dari identitas trigonometri cos C = 1 – 2 sin2 ½C, diperoleh:

sin {{1/2} C} ~=~ sqrt{{(s-b)(s-c)}/{ad+bc}} ………………………………… (4)

Dengan menggunakan (3), (4), dan identitas trigonometri sin C = 2 sin ½C cos ½C, diperoleh:

sin {C} ~=~ 2 sqrt{{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}/{(ad+bc)^2}}

Karena luas segiempat tali busur adalah L ~=~ sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} maka

sin {C} ~=~ {2L}/{ad+bc} ……………………………………………….. (**)

Sekarang perhatikan ΔBOD. Menggunakan aturan cosinus, diperoleh:

p2 = r2 + r2 – 2r2 cos ∠BOD …………….. (5)

Karena ∠BOD = 2C, (5) dapat dinyatakan sebagai:

p2 = 2r2 – 2r2 cos 2C

p2 = 2r2(1 – cos 2C)

p2 = 2r2(2 sin2 C) [menggunakan identitas cos 2C = 1 – 2 sin2 C]

p2 = 4r2 sin2 C …………………………………………….. (6)

Dari (2a) dan (6) diperoleh:

4r2 sin2 C = a2 + d2 + 2ad cos C

r ~=~ {sqrt{a^2+d^2+2ad cos {C}}}/{2 sin {C}} ………………………….. (7)

Subsitusikan (*) dan (**) ke dalam (7), diperoleh:

r ~=~ {sqrt{(ad+bc)(ab+cd)(ac+bd)}}/{4L} ……………………….. (8)

 

Kembali ke pertanyaan di awal post ini, berapakah jari-jari lingkaran yang melalui keempat titik sudut segi empat tali busur itu?

 

Pada kasus ini, a = 3 cm, b = 8 cm, c = 6 cm dan d = 5 cm.

Pertama, kita akan menghitung dulu luas segi empat tali busur tersebut.

s ~=~ {3+8+6+5}/2 ~ cm ~=~ 11 cm

L ~=~ sqrt{(11-3)(11-8)(11-6)(11-5)} ~ {cm}^2 ~=~ 10 sqrt{6} {cm}^2

Sekarang, kita siap untuk menghitung jari-jari yang ditanyakan.

Substitusikan a = 3 cm, b = 8 cm, c = 6 cm, d = 5 cm, dan L = 10√6 cm2 ke dalam (8), diperoleh:

r ~=~ {sqrt{(3.5+8.6)(3.8+6.5)(3.6+8.5)}}/{4.10 sqrt{6}} ~cm~ = ~ {9/{40}} sqrt{406} ~ cm

`

Tagging:

Most visitors also read :



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *