Misalkan f suatu fungsi dengan daerah asal ℝ dan daerah kawan ℝ yang aturan fungsinya sebagai berikut.
Fungsi yang didefinisikan seperti di atas dinamakan fungsi harga mutlak (absolute value). Untuk setiap x ∊ ℝ peta dari x oleh fungsi harga mutlak dilambangkan dengan |x|. Jadi,
Grafik fungsi harga mutlak ditampilkan di bagian awal post ini.
Ilustrasi 1
Berapakah |-4|? Karena -4 < 0, kita gunakan |x| = -x pada definisi harga mutlak, sehingga |-4| = -(-4) = 4.
Berapakah |¾|? Karena ¾ ≥ 0, kita gunakan |x| = x pada definisi harga mutlak, sehingga |¾| = ¾.
Berapakah |0|? Karena 0 ≥ 0, kita gunakan |x| = x pada definisi harga mutlak, sehingga |0| = 0.
Berapakah |-√5|? Karena -√5 < 0, kita gunakan |x| = -x pada definisi harga mutlak, sehingga |-√5| = -(-√5) = √5.
Dari ilustrasi di atas, kita dapat menduga bahwa nilai harga mutlak tidak mungkin negatif. Ini bukan kebetulan. Ini merupakan salah satu sifat harga mutlak. Perhatikan dalil berikut.
Dalil 1
Misalkan x ∊ ℝ sembarang. a) |x| ≥ 0 untuk setiap x ∊ ℝ. b) |x| = 0 jika dan hanya jika x = 0
Bagian a) dalil di atas menyatakan bahwa harga mutlak suatu bilangan tidak mungkin bernilai negatif. Bagian b) menyatakan dua hal, yaitu i) |0| = 0 dan ii) satu-satunya bilangan nyata yang harga mutlaknya bernilai nol adalah nol. Sebagai contoh penggunaan ii), misalkan diketahui bahwa |p + 3| = 0. Berapakah nilai p? Karena satu-satunya bilangan nyata yang harga mutlaknya bernilai nol adalah nol, maka haruslah p + 3 = 0 (tidak mungkin ada kemungkinan lain). Jadi, p = -3.
Ketidaksamaan Segitiga (Triangle Inequality)
Misalkan a dan b masing-masing bilangan nyata. |a + b| ≤ |a| + |b|
Ilustrasi 2
Misalkan a = -3 dan b = 5.
Perhatikan bahwa a + b = -3 + 5 = 2 sehingga |a + b| = |2| = 2.
Selanjutnya, |a| + |b| = |-3| + |5| = 3 + 5 = 8.
Ini mengilustrasikan ketidaksamaan segitiga: |a + b| ≤ |a| + |b|
Apa hubungan antara ketidaksamaan tersebut dengan segitiga? Mengapa ketidaksamaan itu dinamakan ketidaksamaan segitiga?
Jika a, b, dan c adalah panjang sisi-sisi suatu segitiga, maka berlaku tiga hal berikut: a < b + c, b < a + c, dan c < a + b. Kita tidak mungkin membuat suatu segitiga (di bidang datar) yang panjang sisi-sisinya 5 cm, 7 cm, dan 15 cm karena 15 cm ≥ 5 cm + 7 cm.
Dalil 2
Misalkan a, b ∊ ℝ. a) |-a| = |a| b) |a – b| = |b – a|
Contoh Soal 1
Misalkan a, b, dan c masing-masing bilangan nyata.
Diketahui |a – b| < ε/2 dan |c – b| < ε/2.
Buktikan bahwa |a – c| < ε.
Misalkan a, x ∊ ℝ. a) |x| < a ⇔ -a < x < a ; a > 0 b) |x| ≤ a ⇔ -a ≤ x ≤ a ; a ≥ 0 c) |x| > a ⇔ x < -a atau x > a ; a > 0 d) |x| ≥ a ⇔ x ≤ -a atau x ≥ a ; a ≥ 0
Sebagai contoh penerapan Dalil 3, Anda dapat mengunjungi tautan ini.
HARGA MUTLAK (ABSOLUTE VALUE)
Misalkan f suatu fungsi dengan daerah asal ℝ dan daerah kawan ℝ yang aturan fungsinya sebagai berikut.
Grafik fungsi harga mutlak ditampilkan di bagian awal post ini.
Ilustrasi 1
Berapakah |-4|? Karena -4 < 0, kita gunakan |x| = -x pada definisi harga mutlak, sehingga |-4| = -(-4) = 4.
Berapakah |¾|? Karena ¾ ≥ 0, kita gunakan |x| = x pada definisi harga mutlak, sehingga |¾| = ¾.
Berapakah |0|? Karena 0 ≥ 0, kita gunakan |x| = x pada definisi harga mutlak, sehingga |0| = 0.
Berapakah |-√5|? Karena -√5 < 0, kita gunakan |x| = -x pada definisi harga mutlak, sehingga |-√5| = -(-√5) = √5.
Dari ilustrasi di atas, kita dapat menduga bahwa nilai harga mutlak tidak mungkin negatif. Ini bukan kebetulan. Ini merupakan salah satu sifat harga mutlak. Perhatikan dalil berikut.
Dalil 1
Misalkan x ∊ ℝ sembarang.
a) |x| ≥ 0 untuk setiap x ∊ ℝ.
b) |x| = 0 jika dan hanya jika x = 0
Bagian a) dalil di atas menyatakan bahwa harga mutlak suatu bilangan tidak mungkin bernilai negatif. Bagian b) menyatakan dua hal, yaitu i) |0| = 0 dan ii) satu-satunya bilangan nyata yang harga mutlaknya bernilai nol adalah nol. Sebagai contoh penggunaan ii), misalkan diketahui bahwa |p + 3| = 0. Berapakah nilai p? Karena satu-satunya bilangan nyata yang harga mutlaknya bernilai nol adalah nol, maka haruslah p + 3 = 0 (tidak mungkin ada kemungkinan lain). Jadi, p = -3.
Ketidaksamaan Segitiga (Triangle Inequality)
Misalkan a dan b masing-masing bilangan nyata.
|a + b| ≤ |a| + |b|
Ilustrasi 2
Misalkan a = -3 dan b = 5.
Perhatikan bahwa a + b = -3 + 5 = 2 sehingga |a + b| = |2| = 2.
Selanjutnya, |a| + |b| = |-3| + |5| = 3 + 5 = 8.
Ini mengilustrasikan ketidaksamaan segitiga: |a + b| ≤ |a| + |b|
Apa hubungan antara ketidaksamaan tersebut dengan segitiga? Mengapa ketidaksamaan itu dinamakan ketidaksamaan segitiga?
Jika a, b, dan c adalah panjang sisi-sisi suatu segitiga, maka berlaku tiga hal berikut: a < b + c, b < a + c, dan c < a + b. Kita tidak mungkin membuat suatu segitiga (di bidang datar) yang panjang sisi-sisinya 5 cm, 7 cm, dan 15 cm karena 15 cm ≥ 5 cm + 7 cm.
Dalil 2
Misalkan a, b ∊ ℝ.
a) |-a| = |a|
b) |a – b| = |b – a|
Contoh Soal 1
Misalkan a, b, dan c masing-masing bilangan nyata.
Diketahui |a – b| < ε/2 dan |c – b| < ε/2.
Buktikan bahwa |a – c| < ε.
Jawab:
|a – c| = |(a – b) + (b – c)| ≤ |a – b| + |b – c|
Menurut Dalil 2a, |b – c| = |c – b|, sehingga:
|a – c| ≤ |a – b| + |c – b| …………………………………………………………………….. (*)
Karena |a – b| < ε/2 dan |c – b| < ε/2., (*) menjadi:
|a – c| ≤ |a – b| + |c – b| < ε/2 + ε/2 = ε.
Jadi, |a – c| ≤ |a – b| + |c – b| < ε/2 + ε/2 = ε, atau |a – c| < ε.
Dalil 3
Misalkan a, x ∊ ℝ.
a) |x| < a ⇔ -a < x < a ; a > 0
b) |x| ≤ a ⇔ -a ≤ x ≤ a ; a ≥ 0
c) |x| > a ⇔ x < -a atau x > a ; a > 0
d) |x| ≥ a ⇔ x ≤ -a atau x ≥ a ; a ≥ 0
Sebagai contoh penerapan Dalil 3, Anda dapat mengunjungi tautan ini.
Selanjutnya, jika a, b ∊ ℝ maka:
Pada (2), b ≠ 0
Latihan Soal 1: Menggambar Grafik Fungsi Harga Mutlak
Bagikan ini:
Most visitors also read :
BERKENALAN DENGAN NILAI DAN VEKTOR EIGEN
DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR (SINGULAR VALUE DECOMPOSITION)
MATRIKS AKAR KUADRAT
SOAL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA